¿Una forma rápida de demostrar que un campo finito tiene siempre un orden de potencia primo?

Question

Posible duplicado:
El orden de los campos finitos es $p^n$

¿Existe una forma rápida de demostrar que los campos finitos siempre tienen una cardinalidad que es la potencia de un primo p?

Answer 1

He aquí una forma rápida de derivar la característica de un campo finito con conceptos de muy bajo nivel. Consideremos el homomorfismo de anillo $$ f\colon\mathbb{Z}\to F:n\mapsto n\cdot 1_F $$ donde $1_F$ es la identidad multiplicativa en $F$ . Ahora $$ \mathbb{Z}/\ker(f)\simeq\operatorname{im}(f) $$ pero $\operatorname{im}(f)$ es un subring de un campo, por lo tanto un dominio integral. Por lo tanto, necesariamente $\ker(f)$ es un ideal primo, por tanto de la forma $p\mathbb{Z}$ para algún primo $p$ . Entonces $\operatorname{im}(f)$ es un subcampo de orden $p$ de $F$ , por lo que ver $F$ como un espacio vectorial sobre este campo implica inmediatamente $|F|=p^n$ para algunos $n$ .

Answer 2

Un campo finito tiene característica primera. Por lo tanto, contiene un campo isomorfo a $\mathbb{F}_p$ para algún primo $p$ . Por lo tanto, es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb{F}_p$ (de dimensión finita porque es finita). Cuál es el orden de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo finito?

Answer 3

Si $F$ es un campo finito, entonces el subcampo primo $P$ (es decir, el subcampo más pequeño) tiene orden primo $p$ . $F$ es un espacio vectorial sobre $P$ de dimensión $n$ , digamos, y por lo tanto $F$ tiene orden $p^n$ .

Answer 4

Sí. En primer lugar, hay que tener en cuenta que la característica de cualquier dominio integral (si no $0$ ), será un primo, al observar que el subring generado por $1$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ donde $n$ es la característica (y cualquier subring de un dominio integral es de nuevo un dominio integral).

Ahora sabemos que para nuestro campo finito (que no puede tener característica $0$ ), hay algún primo $p$ tal que la adición de cualquier elemento a sí mismo $p$ tiempos da $0$ . Esto significa que el grupo abeliano subyacente (para la adición) es abeliano elemental (lo que significa que todos los elementos no identitarios tienen orden primo para un primo fijo), y es bien sabido por la teoría de grupos que tales grupos tienen orden una potencia de $p$ (si algún otro primo dividiera el orden, entonces el grupo tendría un elemento de ese orden).