repetición de dos dimensiones

Question

Alguien usando sólo estas condiciones puede

1. $$a_{m,k}=a_{m-1,k}+a_{m-1,k-1},m>k$$

2. $$a_{m,k}=1,m=k$$

3. $$a_{m,k}=0,m<k$$

demostrar que

$$a_{m,k}=\frac{m!}{k!(m-k)!}$$

Aquí es la forma de construir el triángulo de Pascal. Estoy interesado en ver la prueba directa. He leído muchos libros sobre combinatoria y en ninguna parte dicha prueba se hace todavía.

Answer 1

Consejos: tener en cuenta la serie formal $a_m(x)=\sum\limits_{k}a_{m,k}x^k$. Mostrar que $a_m(x)=\sum\limits_{k=0}^ma_{m,k}x^k$ cada $m\geqslant0$. Mostrar que $a_0(x)=1$ y $a_m(x)=(1+x)a_{m-1}(x)$ cada $m\geqslant1$. Deducir, para cada $m\geqslant0$ $a_m(x)=(1+x)^m$ asimientos de la relación y por último, el valor de cada $a_{m,k}$.