Lo que hace cero el producto tensor implica?

Question

Estoy tratando de demostrar que para dos finitely generadas $A$-módulos $M,N$ ($A$ cualquier cmmutative anillo), el producto tensor $M\otimes_A N$ es cero iff $\operatorname{Ann}(M)+\operatorname{Ann}(N)=A$.

El si la dirección es de fácil curso - sólo se muestran $1$ como una suma de dos aniquilar a los elementos, $r\in Ann(M)$$s\in Ann(N)$, y para cualquier $m\otimes n\in M\otimes_A N$ tenemos que $$m\otimes n=(r+s)(m\otimes n)=rm\otimes n+m\otimes sn=0$$

El sólo si las direcciones es lo que me tiene desconcertado. Por ahora sé que esto es suficiente para mostrar que $$M\otimes_A N=0\Rightarrow N=Ann(M)N\text{ or } M=Ann(N)M\tag{$**$}$$ ya que ambos módulos son de la aleta.gen, la demanda va a seguir (ya sea trivial, si uno de los aniquiladores es cero, o por Nakayama del Lexema, si ambas son no-cero).

Pero estoy atascado en la que se muestre, y ni siquiera estoy seguro de si es siempre el caso de que $(**)$ tiene... ¿alguien tiene alguna idea? Tal vez una sugerencia en el caso de que es verdad? (Podría ser que el anillo de $A$ debe ser noetherian, no estoy seguro acerca de eso...)

En cualquier caso me gustaría saber si alguien puede sugerir algunas intuiciones sobre cómo probar que un producto tensor es distinto de cero, o lo que es equivalente, lo que se generan a partir de un cero producto tensor.

Gracias de antemano

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AÑADIDO: En respuesta a @Dylan Moreland la pregunta sobre cómo me va en el uso de Nakayama del Lexema:

Una vez que hemos visto que (por ejemplo) $N=Ann(M)N$, ya que el $N$ es un finitely módulo generado (y después de ver que $Ann(M)\subsetneq A$) tenemos por NL que existe cierta $\alpha\equiv 1\mod Ann(M)$ tal que $\alpha N=0$. En paticular $\alpha\in Ann(N)$, y desde $\alpha\equiv 1\mod Ann(M)$ tenemos algunos $\beta\in Ann(M)$ tal que $\alpha+\beta=1$. Esto implica que $1\in Ann(N)+Ann(M)$, por lo que el sólo si la dirección está demostrado (al menos creo que esta es la prueba de sonido, si alguien ve un error, yo estaría encantado de oír hablar de eso)

Answer 1

Pruebe el contrapositivo. Si $Ann(M) + Ann(N)$ es un buen ideal, lo interesante tipo de ideal se puede elegir que la contiene? Trate de usar que el ideal de ayudar.

También, como regla general, para mostrar que $M\otimes N$ es distinto de cero, trate de encontrar un mapa a algunos cociente que resulta más sencillo de entender (y de modo más simple para mostrar no es cero).

Answer 2

Aquí es una alternativa a prueba, utilizando los hechos

1. $\mathrm{supp}(M \otimes N) = \mathrm{supp}(M) \cap \mathrm{supp}(N)$ (Sugerencia: Nakayama y álgebra Lineal)
2. $\mathrm{supp}(M) = V(\mathrm{Ann}(M))$

Esto implica $V(\mathrm{Ann}(M \otimes N)) = V(\mathrm{Ann}(M) + \mathrm{Ann}(N))$. Por lo tanto, $M \otimes N=0$ si el conjunto está vacío iff $\mathrm{Ann}(M) + \mathrm{Ann}(N)=A$.