¿Otro límite geodésico sin L ' Hospital: $\lim_{x\to\ 0} \frac{\sqrt{\sin x+1}-\sqrt{1-\sin x}}x$?

Question

¿Qué puedo hacer?

Answer 1

ps

Answer 2

Sugerencia. Uno puede escribir, multiplicando arriba y abajo por el conjugado, $$ \dfrac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt {\sin 1 x}} {x} = 2\cdot\frac {\sin x} {x} \cdot \frac1{\sqrt{1+\sin x} + \sqrt {\sin 1 x}}. $$

Answer 3

%#% $ De #% está claro que el límite es de $$\dfrac{\sqrt{\sin\left(x\right)+1}-\sqrt{1-\sin\left(x\right)}}{x}=\left(\frac{(\sqrt{\sin\left(x\right)+1}-\sqrt{1-\sin\left(x\right)})^2}{x^2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{2-2\cos x}{x^2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{2(\frac{x^2}{2!}-\frac{x^4}{4!}+....)}{x^2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2(\frac{1}{2}-\frac{x^2}{4!}+...)\right)^{\frac{1}{2}}$

Answer 4

Sugerencia:

$$1\pm\sin2t=(\cos t\pm\sin t)^2$$

$t$ Cerca de $0,$

$$\sqrt{1\pm\sin2t}=\cos t\pm\sin t$$

Answer 5

Muchos problemas como este son solo derivados o cierran parientes de derivados, en disfraz. Que $f(x) = \sqrt {1 + \sin x}, g(x) = \sqrt {1 - \sin x}.$ la expresión equivale a

$$\frac{f(x) - f(0)}{x-0} - \frac{g(x) - g(0)}{x-0}.$$

Definición de la derivada, el anterior $\to f'(0) - g'(0).$ este es un cálculo fácil. (El truco conjugado y otros conejos de los sombreros de ocultan lo que realmente está sucediendo.)