Nota: Esta pregunta fue publicado de la MO.
Preámbulo: pido disculpas de antemano si este particular MSE post parece ser un poco de un polímata enfoque, yo sólo tenía que poner todos los detalles para presentar mi argumento para este problema de matemáticas.
Un entero positivo $N$ se dice perfecto si $\sigma(N)=2N$ donde $\sigma(x)$ es la suma de los divisores de a $x$.
Un número perfecto impar $N$ se dice que se da en Euleriano forma si $N = {q^k}{n^2}$ donde $q$ es primo, $q \equiv k \equiv 1 \pmod 4$$\gcd(q,n)=1$.
Desde $\gcd(q,n)=1$ y el primer poderes son deficientes, tenemos $q \neq n$$q^k \neq n$.
En una versión anterior de este ensayo El Índice de Abundancia de los Divisores Impares Perfecto Números (ver aquí), se conjeturó que el bicondicional
$$q^k < n \Longleftrightarrow \sigma(q^k) < \sigma(n) \Longleftrightarrow \frac{\sigma(q^k)}{n} < \frac{\sigma(n)}{q^k}$$
es cierto. (Tenga en cuenta que la prueba de las inecuaciones
$$\frac{\sigma(q^k)}{n} \neq \frac{\sigma(n)}{q^k}$$
es trivial.)
Recientemente, en un intento de demostrar que el dijo bicondicional parece haber sido completado en este preprint.
Os presentamos a continuación los aspectos más destacados de dicha prueba:
Una dirección de la bicondicional es trivial:
$$q^k < n \Longrightarrow \frac{\sigma(q^k)}{n} < \frac{\sigma(n)}{q^k}.$$
Esto se comprueba observando que en el $I(q^k) < \sqrt[3]{2} < I(n)$ (donde $I(x) = \sigma(x)/x$ es el índice de abundancia de $x$), de las cuales la siguiente cadena de implicaciones seguir:
$$q^k < n \Longrightarrow \sigma(q^k) < \sigma(n)$$ $$q^k < n \Longrightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{q^k}$$ $$\{\sigma(q^k) < \sigma(n)\} \land \{\frac{1}{n} < \frac{1}{q^k}\} \Longrightarrow \frac{\sigma(q^k)}{n} < \frac{\sigma(n)}{q^k}$$
Por lo tanto:
$$q^k < n \Longrightarrow \sigma(q^k) < \sigma(n) \Longrightarrow \frac{\sigma(q^k)}{n} < \frac{\sigma(n)}{q^k}.$$
En el otro sentido:
La implicación
$$\frac{\sigma(q^k)}{n} < \frac{\sigma(n)}{q^k} \Longrightarrow \sigma(q^k) < \sigma(n)$$ puede ser demostrado, una vez más por la observación de que $I(q^k) < \sqrt[3]{2} < I(n)$.
Ahora, para probar la última consecuencia:
$$\sigma(q^k) < \sigma(n) \Longrightarrow q^k < n$$
tomamos un enfoque indirecto.
Primero nos muestran que:
Si $N = {q^k}{n^2}$ es un número perfecto impar dado en Euleriano forma y
$$I(q^k) + I(n) < \frac{\sigma(q^k)}{n} + \frac{\sigma(n)}{q^k},$$
a continuación,$q^k < n \Longleftrightarrow \sigma(q^k) < \sigma(n)$.
Del mismo modo, se puede demostrar que:
Si $N = {q^k}{n^2}$ es un número perfecto impar dado en Euleriano forma y
$$\frac{\sigma(q^k)}{n} + \frac{\sigma(n)}{q^k} < I(q^k) + I(n),$$
a continuación,$q^k < n \Longleftrightarrow \sigma(n) < \sigma(q^k)$.
Observar que
$$I(q^k) + I(n) = \frac{\sigma(q^k)}{n} + \frac{\sigma(n)}{q^k}$$
si y sólo si
$$\sigma(q^k) = \sigma(n).$$
También, observe que si asumimos
$$\frac{\sigma(q^k)}{n} + \frac{\sigma(n)}{q^k} < I(q^k) + I(n)$$
a continuación, el bicondicional
$$q^k < n \Longleftrightarrow \sigma(n) < \sigma(q^k)$$
se contradicen $I(q^k) < \sqrt[3]{2} < I(n)$.
Por lo tanto, la siguiente desigualdad debe ser cierto:
$$I(q^k) + I(n) \leq \frac{\sigma(q^k)}{n} + \frac{\sigma(n)}{q^k}.$$
Basta considerar el caso cuando
$$I(q^k) + I(n) = \frac{\sigma(q^k)}{n} + \frac{\sigma(n)}{q^k}$$
que es verdadero si y sólo si
$$\sigma(q^k) = \sigma(n).$$
Esta última ecuación, junto con la desigualdad de $I(q^k) < \sqrt[3]{2} < I(n)$, implica que
$$1 = \frac{\sigma(q^k)}{\sigma(n)} < \frac{q^k}{n}$$
de donde se desprende que el $n < q^k$. Por lo tanto, $1/q^k < 1/n$, que luego da, junto con la ecuación de $\sigma(n) = \sigma(q^k)$, la desigualdad
$$\frac{\sigma(n)}{q^k} < \frac{\sigma(q^k)}{n}.$$
Pero esta última desigualdad, junto con la $I(q^k) < \sqrt[3]{2} < I(n)$, se sabe que implica
$$n < q^k.$$
En consecuencia, si
$$I(q^k) + I(n) = \frac{\sigma(q^k)}{n} + \frac{\sigma(n)}{q^k}$$
entonces
$$n < q^k \Longleftrightarrow \frac{\sigma(n)}{q^k} < \frac{\sigma(q^k)}{n}$$
Ahora, aquí es la parte donde tengo un poco de dudas acerca de la solidez lógica:
Por último, tenga en cuenta que desde
$$\sigma(q^k) = \sigma(n)$$
implica $n < q^k$, el bicondicional
$$q^k < n \Longleftrightarrow \sigma(q^k) < \sigma(n)$$
es vacuously cierto, en este caso.
AHORA, AQUÍ ESTÁ MI PREGUNTA (y esta es también la razón principal para este MSE post):
Me han dicho que hay una brecha en la última parte de esta prueba. Como Yo yo estoy teniendo un tiempo difícil mostrar dónde particular de error es, ¿ alguien ser tan amable como para ayudar a flotar a través de este argumento y, a continuación, (después de restar importancia a los detalles) dar un PASE o un FAIL?
