Polinomios de Hermite (distintas formas de escribirlos)

Question

Me estaba viendo a esta pregunta en la cual 2 definiciones de los polinomios de Hermite son:

$$H_n(x) = (-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$$

y $$H_n(x) = \left( 2x - \frac{d}{dx} \right)^n(1)$$

Ahora, he encontrado otra definición:

$$H_n(x) = e^{x^2/2}\left(x-\frac{d}{dx}\right)^n e^{-x^2/2}$$

Hay un montón de literatura sobre las dos primeras definiciones, pero no he encontrado ninguno en el tercero. Me gustaría saber si hay una manera de deducir la primera o la segunda de las definiciones de la tercera. Traté de expansión de un binomio expansión, pero no consiguió nada. Le agradezco su ayuda. O hay alguna manera de mostrar que la última expresión coincide con los coeficientes de la generación de la función de expansión?

Answer 1

La generación de la función de los polinomios de Hermite es

$$e^{2xt -t^2} = \sum_{n = 0}^{+\infty} H_n(x)\frac{t^n}{n!}$$

donde los "coeficientes" $H_n(x)$ se obtuvo a través de una expansión de Taylor de la l.h.s

$$H_n(x) = \left[\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^n e^{2xt - t^2} \right]_{t= 0} = \left[e^{x^2}\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^n e^{-(x-t)^2} \right]_{t= 0}$$

tenga en cuenta que la exponencial es una función de $x-t$, por lo que podemos utilizar el hecho de que $\partial f(x -t)/\partial t = -\partial f(x-t)/\partial x$, por lo tanto

$$H_n(x) = (-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} \etiqueta{1}$$

A ver esto es equivalente a su última expresión, definir el operador $P$

$$\hat{P} = -e^{x^2}\frac{d}{dx}e^{-x^2}$$

y

$$\hat{Q} = e^{x^2/2}\left(x - \frac{d}{dx} \right)e^{-x^2/2}$$

y calcular

$$\hat{P}f = -e^{x^2}\frac{d}{dx}\left(fe^{-x^2}\right) = 2xf - \frac{df}{dx}$$

y

$$\hat{Q}f = e^{x^2/2}\left(x - \frac{d}{dx}\right)e^{-x^2/2} = 2xf - \frac{df}{dx} = \hat{P}f$$

esto significa que $\hat{P} = \hat{Q}$. Sustituyendo esto en la ecuación. (1) se obtiene

$$\begin{eqnarray} H_n(x) &=& (-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2} \\ &=& e^{x^2/2}\left(x - \frac{d}{dx}\right)^ne^{-x^2/2} \tag{2} \end{eqnarray}$$

Y creo que eso debería responder a su pregunta. Su segunda ecuación de la siguiente manera de hacer una transformación de la forma $x\to \sqrt{2}x$