Fubini ' Teorema de s aplicado a funciones del paso de heaviside

Question

Primero de todo, probablemente debería mencionar que soy un físico, no un matemático así que me disculpo sinceramente por cualquier falta de rigor en mi explicación de mi problema.

Recientemente, he estado tratando de calcular (simple) 2d transformadas de Fourier de tiempo-ordenó Matsubara funciones de Green, pero he estado teniendo algunos problemas con él.

Me parece que no puede determinar si es o no el orden de integración de las cuestiones de una integral doble como el siguiente

$$ \int_{0}^{\beta} \int_{0}^{\beta} e^{i \omega_1 \tau_1}e^{i \omega_2 \tau_2} \theta(\tau_1-\tau_2) e^{g (\tau_1-\tau_2)} d\tau_1 d\tau_2 \quad (1) $$

Por mi cálculo (y el doble de la comprobación con mathematica), la evaluación de la anterior integral doble de forma iterativa como:

$$ \int_{0}^{\beta} \left(\int_{0}^{\beta} e^{i \omega_1 \tau_1}e^{i \omega_2 \tau_2} \theta(\tau_1-\tau_2) e^{g (\tau_1-\tau_2)} d\tau_1\right) d\tau_2 \quad (2) $$

da

$$ \frac{e^{i \beta \omega _1} \left(e^{\beta g}-e^{i \beta \omega _2}\right)}{\left(g+i \omega _1\right) \left(g-i \omega _2\right)}+\frac{-1+e^{i \beta \left(\omega _1+\omega _2\right)}}{\left(\omega _1+\omega _2\right) \left(\omega _1-i g\right)} \quad (3) $$

mientras que la evaluación de forma iterativa, en cambio, como

$$ \int_{0}^{\beta} \left(\int_{0}^{\beta} e^{i \omega_1 \tau_1}e^{i \omega_2 \tau_2} \theta(\tau_1-\tau_2) e^{g (\tau_1-\tau_2)} d\tau_2\right) d\tau_1 \quad (4) $$

da

$$ \frac{-1+e^{\beta (g+i \omega_1)}}{(g+i \omega_1) (g-i \omega_2)}-\frac{-1+e^{i \beta\omega_1+\omega_2)}}{(\omega_2+i g) (\omega_1+\omega_2)} \quad (5) $$

Una discrepancia entre los resultados no parecen ocurrir cuando los límites de cada integrante es $(-\infty,\infty)$ (un problema que ha sido abordado en anteriores posts como este uno).

Por otra parte, he probado la habitual la sustitución de variables de enfoque en el que se define el siguiente conjunto de variables

$$ \tau = \tau_1-\tau_2, \qquad \tilde{\tau} = \tau_2 \\ \tilde{\tau} \epsilon [0,\beta], \qquad \tau \epsilon [-\tilde{\tau}, \beta\tilde{\tau}] $$

Y esto me da el mismo resultado (3). Así que no estoy seguro de si estoy cometiendo un error o que el teorema de Fubini no se aplicará cuando se trate de Heaviside funciones theta. Pero si el orden de integración importa, entonces cual es la manera correcta de calcular estas integrales? Seguramente esto es crucial a la hora de calcular Matusbara funciones de Green en el espacio de frecuencia. Cualquier consejo sería muy apreciada!

Answer 1

Tengo el mismo dos expresiones. No hay ningún problema con el teorema de Fubini o Heaviside Theta función, las dos expresiones son en realidad la misma. Si se hace:

$f=e^{g \left(\tau _1-\tau _2\right)} \theta \left(\tau _1-\tau _2\right) e^{i \tau _1 \omega _1} e^{i \tau _2 \omega _2}; $

$ \text{Integrar}\left[f,\left\{\tau _1,0,\beta \right\},\text{Supuestos}\a \beta >0\de la tierra \tau _2>0\right] $

$ a=\text{Integrar}\left[\%,\left\{\tau _2,0,\beta \right\},\text{Supuestos}\a \beta >0\right] $

$ \text{Integrar}\left[f,\left\{\tau _2,0,\beta \right\},\text{Supuestos}\a \beta >0\de la tierra \tau _1>0\right] $

$ b=\text{Integrar}\left[\%,\left\{\tau _1,0,\beta \right\},\text{Supuestos}\a \beta >0\right] $

$ \text{Simplificar}[a - b] $

en Mathematica, obtendrá $0$ para la última línea. Y si no se la $ \text{Simplificar}[a - b] $ procedimiento con la mano, usted también debe ser capaz de obtener la $0$, lo podía hacer yo y yo soy sólo un pobre ingeniero.