Por qué $\frac{X+YZ}{\sqrt{1+Z^2}} \sim \mathcal{N}(0,1)$ si $X,Y,Z$ son i.i.d. $\mathcal{N}(0,1)$ ?

Question

La pregunta original era: Supongamos que $X,Y,Z$ son i.i.d. $\mathcal{N}(0,1)$ encontrar una función continua no negativa $g$ tal que $\frac{X+YZ}{g(Z)} \sim \mathcal{N}(0,1)$ .

La solución dice, ya que $E(X+YZ\mid Z=z)=0$ y $Var(X+YZ\mid Z=z)=1+z^2$ para todos $z \in \mathcal{R}$ . Así que $g=\sqrt{1+Z^2}$ .

Veo el cálculo de la expectativa y la varianza, pero no sé por qué $\frac{X+YZ}{g(Z)}$ sigue una distribución normal. La solución dice, ya que $X+YZ\mid Z=z$ sigue una distribución normal para todos los $z$ Por lo tanto $X+YZ$ es normal.

Answer 1

Primero encontramos la distribución condicional dada $Z$ . Eso significa tratar $Z$ como constante. Así que tenemos $1\cdot X+c\cdot Y$ donde $c$ es constante. Que se distribuye normalmente con desviación estándar $\sqrt{1^2+c^2}$ . En este caso, es decir $\sqrt{1+Z^2}$ . Esto implica que la distribución condicional de $$ T=\frac{X+YZ}{\sqrt{1+Z^2}}%\tag{1} $$ dado $Z$ es $\mathcal{N}(0,1)$ .

Por último, observe que la distribución condicional de $T$ dado $Z$ no depende de $Z$ . De ello se deducen dos cosas: (1) Es la misma que la distribución marginal (o "incondicional") de $T$ y (2) $T$ es en realidad probabilísticamente independiente de $Z$ .