Acerca de los grupos de una relación de no-discernability (clases de) finitamente generado.

Question

Deje $G$ el conjunto de finitely grupos generados hasta el isomorfismo.

Ahora defina $B$ $C$ dos finitely grupos generados a no ser perceptibles si se puede encontrar una finitely generado grupo $A$ tal que $A\times B$ es isomorfo a $A\times C$. De esta forma se define una relación de equivalencia en $G$ (sencillo de verificación).

Las preguntas que voy a preguntar, están relacionados con este post :

Para grupos de $A,B,C$ si $A\times B$ $A\times C$ son isomorfos do tenemos $B$ isomorfo a $C$?

En este post, de la contra-ejemplo para $(1)$ no cada clase es reducido a uno (que no siempre se puede distinguir un grupo de otro). De la contra-ejemplo a $(2)$ hay muchas clases (usando el abelianization uno puede discernir los grupos a través de editar 2). Así que el "no-discernimiento" es claramente no trivial de la relación (así que esto es diferente de los grupos finitos caso, y en general, los grupos de casos). Recuerdo que estamos en $G$ y, por tanto, todos los grupos son finitely generado.

(3) hay grupos de $B$ de manera tal que la "sin discernimiento" de la clase se reduce a $B$ ? Si sí, puede que nos caracterize ellos ?

(4) Es la trivial grupo de "no-discernimiento" de la clase reducido a la trivial grupo? Si no, puede que nos caracterize grupos dentro de esta clase ?

($\infty$) Dan invariantes para la "sin discernimiento" de clases.

Answer 1

Me ha gustado el papel. Sin embargo, nunca he tenido la oportunidad de aplicarlo hasta ahora!

El papel es de Alguna extraña finitely presentan grupos de Gilbert Baumslag y Charles F. Miller III. (Sobre todo me gusta el papel por el título.) El documento, entre otras cosas interesantes, construye un finitely generado grupo $K$ tal que $K\cong K\times K$ (Teorema D)^†.

Por lo tanto, $K\times 1\cong K\times K$, y, más generalmente,$K\times B\cong K\times (K\times B)$. Por lo tanto, no hay grupos $B$ cuyo "no discernimiento" de la clase se reduce a $B$. Ni siquiera el trivial grupo.

Esto responde (3), y la parte de (4). Grupos en el "no-discernimiento" de la clase de la trivial grupo son todos finitely grupos generados por $Q$ con $Q\cong Q\times S$, $S$ algunos finitely generado grupo. Tal vez un buen punto de partida para su lectura sería el papel de J. M. Tyrer Jones Directa de productos y el de Hopf de la propiedad, J. Austral. Matemáticas Soc. (1974), donde se construyó la primera finitely grupos generados por $Q$ tal que $Q\cong Q\times Q$.

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^† Véase también J. M. Tyrer Jones Directa de productos y el de Hopf de la propiedad, J. Austral. Matemáticas Soc. (1974) y David Meier, No Hopfian grupos de J. Londres Matemáticas. Soc., (1982)

Answer 2

Es un problema abierto si existe un grupo finitamente presentado $G$satisfacción $G \simeq G \times G$. Sin embargo, existen tales grupos finitamente generados. Creo que el primer ejemplo fue dado por Jones en productos directos y la propiedad de Hopf.

Answer 3

Desde las respuestas anteriores proporcionan resultado negativo, puedo restringir los resultados positivos. En primer lugar, para estar en consonancia con la terminología estándar (muy común en el módulo de teoría de haces de fibras, etc), lo que se llama "no discernible" más bien debería ser llamado "estable isomorfo" (dentro de finitely grupos generados).

Fácil invariante de la estabilidad de isomorfismo: el (isomorfismo) el tipo de la abelianization. Se sigue inmediatamente del hecho de que $A\times B\simeq A\times C$ implica $B\simeq C$ si $A,B,C$ son finitely generado abelian grupos.

Un fuerte resultado es el siguiente:

si $B,C$ estable isomorfos, entonces tienen isomorfo profinite terminaciones (es decir, sus profinite terminaciones son isomorfos como topológicos, grupos).

De hecho, si $G$ es un grupo, vamos a $G_n$ ser el cociente de $G$ por la intersección de todos los subgrupos de índice $\le n$. Si $G$ es finitely generado, entonces, $G_n$ es finito, y el profinite finalización de $G$ es naturalmente isomorfo (como un grupo topológico) a la inversa límite de la $G_n$. Una característica interesante de este cociente es que $(A\times B)_n=A_n\times B_n$ para todos los grupos de $A,B$ (que es tal vez más fácil de ver si definimos $K_n(G)$ a ser la intersección de todos los subgrupos de índice $\le n$, entonces es inmediato que $K_n(A\times B)=K_n(A)\times K_n(B)$ para los grupos de $A,B$). Por lo tanto, si $A,B,C$ son finitely grupos generados y $A\times B\simeq A\times C$, entonces para todos los $n$ tenemos $A_n\times B_n\simeq A_n\times C_n$, y, a continuación, (Wedderburn-Remak-Krull-Schmidt) se deduce que $B_n\simeq C_n$ todos los $n$. Esto implica que $B$ $C$ tienen el mismo finito de coeficientes y resultado de Ribes y Zaleskii (ver http://mathoverflow.net/questions/39973/distinguishing-pro-finite-completions) implica que $B$ $C$ han isomorfo profinite terminaciones.

En particular, si dos grupos finitos se estable isomorfo a continuación, son isomorfos.

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Sigue a pensar en otras invariantes y encontrar dos finitely grupos generados con isomorfo profinite de las sugerencias, pero no de forma estable isomorfo!