Es muy fácil mostrar que la extensión totalmente ramificada $\mathbb{Q}_p(\zeta_{p^{a+1}})/\mathbb{Q}_p$ contiene un único subextension % % s.t. de $E$% #% es una extensión cíclica de grado $E/\mathbb{Q}_p$ y esto es dado por el campo fijo del único subgrupo de orden $p^a$ del grupo de Galois. Mi pregunta es: podemos nosotros explícitamente escribir ¿qué es este campo?
Respuesta
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Sí, puedes. Que $r$ estar una raíz primitiva módulo $p^{a+1}$, que $\sigma: \zeta\mapsto \zeta^r$ es un generador del grupo de Galois de $\mathbb{Q}_p(\zeta)/\mathbb{Q}_p$ (caerá los subíndices en el $\zeta$). Cada $i=0,\ldots,p^a-1$, conjunto $$ \eta_i = \sum_{j=1}^{p-1}\zeta^{\displaystyle r ^ {jp ^ + i}}. $$ Es fácil ver que todos los $\eta_i$ son fijos por el subgrupo cíclico $\langle\sigma^{p^a}\rangle$ $p-1$, que $\eta_i\in E$ de la orden. Además, $\sigma(\eta_i) = \eta_{i+1}$ $0\leq i < p^a-1$, por lo que cada $\eta_i$ tiene exactamente $p^a$ conjuga bajo $\text{Gal}(\mathbb{Q}_p(\zeta)/\mathbb{Q}_p)$, y así genera el cualquier $\eta_i$ $E$.
