El marco formal detrás de su problema concreto es la siguiente : se quiere demostrar que "algo considerable" no existe. "Algo que no existe" es codificado por un conjunto $X$ que queremos mostrar a estar vacío. "Siendo considerable" significa que usted tiene una "función de tamaño" $s : X \rightarrow \mathbf{N}$. Si $X$ no está vacío, como el conjunto $s(X)$ no es una parte vacía de $\mathbf{N}$, tiene un menor elemento de a $d_0$ alcanzado por algunos $x_0\in X$ tal que $s(x_0)=d_0$. Ahora, si por algún argumento, algunas de las "recetas", de $x_0$ llega a construir otro elemento $x_1$ $X$ tal que $s(x_1) = d_1 < d_0$, entonces usted tendrá contradice el hecho de que $s(x_0)$ se supone que el mínimo, y muestran que la $X$ está vacía. El descenso nombre del argumento proviene del hecho de que de $x_1$ puedes, con la misma receta de construir una $x_2$ tal que $s(x_2) < s(x_1)$, y, a continuación, una $x_3$ etc etc : por inducción de construir una secuencia $(x_n)_n$ de manera tal que la secuencia de $(s(x_n))_n$ estrictamente disminuye : "desciende infinitamente", de ahí el "descente infinie" francés término dado por Fermat a sí mismo para este tipo de pruebas.
Ahora, en el caso de su problema concreto, se puede encontrar el conjunto adecuado $X$, y el de la derecha el "tamaño" de la función $s : X \rightarrow \mathbf{N}$ ? Puede usted, a continuación, encontrar la receta adecuada para obtener $x_1$$x_0$ ? (Tenga en cuenta que la receta es sólo un método de dar un $y\in X$ tal que $s(y) < s(x)$, a partir de un determinado $x\in X$.) Voy a responder a estas preguntas a través de los datos que cito a continuación.
En primer lugar, no hay necesidad de saber lo que es una UFD (única factorización de dominio) es : estamos en el $\mathbf{C}[T]$ de los casos y lo único que vamos a utilizar es este : para cualquier polinomio no constante $P\in\mathbf{C}[T]$ tiene un único (modulo el orden de los factores) de la factorización de $$P = a_d (T-\lambda_1^{\mu_{\lambda_1}})\ldots(T-\lambda_d^{\mu_{\lambda_d}}) = z \prod_{\lambda\in S} (T - \lambda^{\mu_{\lambda}})$$ where $S$ is the set of roots of $P$ and $\mu_{\lambda}$ is the multiplicity of the root $\lambda\en S$ (this factorization is called nice factorization from now on) where the $\lambda_i\mathbf{C}$ are the distinct roots of $P$, $a_d\in\mathbf{C}$ is $P$'s leading coefficient and $d$ is the degree of $P$. You already know this : it is called that the field $\mathbf{C}$ es algebraicamente cerrado.
Me fijo de una vez por todas un entero $n\geq 3$. Ahora observamos $X$ el conjunto de tripletas $(a(T),b(T),c(T))\in\left(\mathbf{C}[T]\right)^3$ tal que
- $a,b$ $c$ no son constantes y relativamente primos : esto significa que usted no puede encontrar una $\lambda\in\mathbf{C}$ tales que el polinomio $T-\lambda$ divide $a, b$$c$, es decir, usted no puede escribir $a(T) = (T-\lambda) a_0(T), b(T) = (T-\lambda) b_0(T)$ $c(T) = (T-\lambda) c_0(T)$ por un triple $(a_0(T),b_0(T),c_0(T))\in\left(\mathbf{C}[T]\right)^3$ : que es el polinomios $a,b$ $c$ no tienen ningún factor común
- $a(t)^n + b(t)^n = c(t)^n$ (tenga en cuenta que he sustituido $3$ mi $n$, voy a probar algo más general que lo que quiero probar, y creo que la mayor generalidad le hará entender más fácilmente lo que es formal detrás de la prueba y lo que no lo es).
y queremos demostrar que las $X = \varnothing$. Tenga en cuenta que el grado del polinomio es cero $-\infty$ digamos por la convención, y que por un triple $(a(T),b(T),c(T))\in X$, al menos un polinomio es distinto de cero, como si fueran todos de cero, $a,b$ $c$ no estaría relativamente primos. Todo esto para decir que por un triple $(a,b,c)\in X$ tenemos $s((a,b,c)) := \max\left( \textrm{deg}(a), \textrm{deg}(b), \textrm{deg}(c) \right) \in \mathbf{N}$ : tenemos nuestra función de tamaño !
Queremos mostrar que $X = \varnothing$, y como escribí al principio, suponemos que a $X \not= \varnothing$ y por lo tanto, tener un $(a,b,c)\in X$, y vimos al principio de que tenemos el derecho a elegir a $(a,b,c)$ tal que $s((a,b,c))$ es mínima.
Observación. Si $(a,b,c)$ es una solución en $\mathbf{C}[T]^3$ tal que $s((a,b,c))$ es mínima, entonces $a,b,c$ son de facto relativamente primos : ¿que tienen en común no trivial (es decir, de grado $>0$) factor de $Q$, podríamos escribir $a = Q a_0$, $b=Q b_0$ y $c = Q c_0$ y el taponamiento de estas relaciones en la ecuación de $a^n + b^n = c^n$ y factorizando los $Q^n$ muestra que $a_0^n + b_0^n = c_0^n$, por lo que el $(a_0,b_0,c_0)$ es también una solución, pero con $s((a_0,b_0,c_0)) < s((a,b,c))$, lo que contradice la minimality de $s((a,b,c))$ y muestra que $a,b,c$ son relativamente primos, de hecho,
Vamos a seguir adelante. Podemos reescribir $a(t)^n + b(t)^n = c(t)^n$$a(t)^n = c(t)^n - b(t)^n$. Ahora la observación de que tendríamos $n=2$, usted sabe cómo el factor de $c(t)^n - b(t)^n$, ya que contamos con la notable identidad $c^2 - b^2 = (c-b)(c+b)$. Esperamos que dicha identidad para $c(t)^n - b(t)^n$ en el caso general,$n\geq 3$. Estoy seguro de que has oído acerca de $n$-th raíces de la unidad : estos son los números complejos $\omega$'s tal que $\omega^n = 1$. Usted tiene que saber que no son los llamados primitivos $n$-th raíces de la unidad : esos son los $n$-th raíces de la unidad $\omega$'s tales que la lista de $1,\omega,\ldots,\omega^{n-1}$ darle todos los $n$-th raíces de la unidad. (Tenga en cuenta que hay hecho $n$ $n$-th raíces de la unidad : ¿por qué ?) Revisión tan primitivo $n$-th raíces de la unidad $\omega$. Como el $\omega^i$ $0\leq i < n$ son todas las raíces de la unidad, es decir, las raíces del polinomio $T^n - 1$, podemos escribir : $$T^n - 1 = \prod_{i=0}^{n-1} (T - \omega^i ).$$ This is a formal identity, so that you can replace $T$ by $\frac{c(t)}{b(t)}$ in it and you will then see that you have $$c(t)^n - b(t)^n = \prod_{i=0}^{n-1} (c(t) - \omega^i b(t))$$ que es notable la identidad que estábamos buscando.
Ahora, podemos reescribir la ecuación de $a(t)^n = c(t)^n - b(t)^n$ $$a(t)^n = \prod_{i=0}^{n-1} (c(t) - \omega^i b(t)).$$ What do we see here ? A product (in the right-hand side) that is equal to the $n$-th power of something (of $$, in the left-hand side.) We would like to be able to say that this implies that each term of the product is the $n$-th power of something. We are allowed to make this implication when the factors of the product is constituted by relatively prime polynomials. (This is by the way the same situation as in $\mathbf{Z}$.) Voy a detalle este :
(1) El $c(t) - \omega^i b(t)$ forma relativamente primer polinomios. En efecto : supongamos que no es y deje $Q$ común no trivial (es decir, de grado $>0$) factor de $Q$. Tenemos $c - b = Q R_1$ $c - \omega b = Q R_2$ para los polinomios de $R_1$$R_2$. Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por dos ecuaciones anteriores se demuestra que $Q$ divide $b$$c$, y como $a^n = c^n - b^n$, $Q$ divide también a $a^n$, y por lo tanto, divide también a $a$ (por qué ?). Por lo $Q$ divide $a$, $b$ y $c$ : la contradicción como $a$, $b$ y $c$ son relativamente primos. Así, hemos demostrado que $c(t) - \omega^i b(t)$ forma relativamente primer polinomios.
(2) Anterior (1) y la ecuación de $c(t)^n - b(t)^n = \prod_{i=0}^{n-1} (c(t) - \omega^i b(t))$ implica que todas las $c(t) - \omega^i b(t)$ $n$- th poderes. Para ver esto, basta con escribir bonito factorizations cada una de las $c(t) - \omega^i b(t)$'s : $$c(t) - \omega^i b(t) = z_i \prod_{\lambda\in S_i} (T-\lambda^{\mu_{\lambda}})$$ where $S_i \subseteq \mathbf{C}$ for all $i$ such that $0\leq i < n$. As the $c(t) - \omega^me b(t)$'s are relatively prime we have $S_i \cap S_j$ for all $i,j$ such that $0\leq i,j <n$ and $i\no=j$. Now if you you note $a = z\prod_{\lambda\S} (T-\lambda^{\mu_{\lambda}})$ the nice factorization of $$ (where $S\subseteq \mathbf{C}$), we must have $ S = \cup_{i=0}^{n-1} S_i$. Plugging all linear factorization described in this paragraph into the equation $a(t)^n = \prod_{i=0}^{n-1} (c(t) - \omega^me b(t))$ and regrouping in the left-hand side linear factors according to if they belong to the same $S_i$ and comparing with the right-hand side shows indeed that each $c(t) - \omega^me b(t)$ is the $n$-th power of some polynomial $D_i(T)$ : $c(t) - \omega^me b(t) = D_i(T)^n$ for $0\leq i < $n.
A partir de ahora voy a divergir ligeramente de la prueba que usted cita. Como el $c(t) - \omega^i b(t)$'s son relativamente primos, por lo que son las $D_i (T)$'s (ejercicio : probar). Busca en las principales coeficientes de $c$ $b$ podemos ver que en más de una $D_i (T)$ puede ser constante. Ahora elija cualquier triplete $(x,y,z)$ de los distintos elementos entre los $D_i (T)$'s. (Esto es posible como $n\geq 3$.) Como $x^n,y^n,z^n$ están en el sub-espacio vectorial de $\mathbf{C}[T]$ generado por $b$ $c$ (recordar que en la definición de la $D_i (T)$s'es !) que como dimensión (más $\mathbf{C}$) $\leq 2$, tenemos un no trivial relación $$ \alpha x^n + \beta y^n = \gamma z^n$$ where $(\alpha,\beta\gamma)\no=(0,0,0)$. But (as $\mathbf{C}$ is algebraically closed) as each complex number is a $n$-th power of some other complex number, we can write $\alpha = \alpha_O^n$, $\beta = \beta_0^n$ and $\gamma = \gamma_0^n$ and then write $x_0^n + y_0^n = z_0^n$ where $x_0 = \alpha_0 x$, $y_0 = \beta_0 y$ and $z_0 = \gamma_0 z$.
Ahora, $x_0, y_0, z_0)$ son relativamente primos no constante polinomio que satisface la ecuación, y de tal manera que $s(x_0,y_0,z_0)) < s((a,b,c))$, que es la contradicción con la minimality de $s((a,b,c))$ que estábamos buscando. ;-)
Observación. Todo esto se basa en el hecho de que $\mathbf{C}[T]$ es un UFD. Usted podría imitar la misma prueba más de $\mathbf{Z}$ en lugar de $\mathbf{C}[T]$ y concluir falsamente que usted obtenga una prueba de Fermat gran teorema, como se cree de Fermat hizo a sí mismo. Por qué falsamente ? Porque no habría un error en el "$\mathbf{Z}$ " analógica del punto (2). Primero a través de la $\mathbf{Z}$, este argumento tendría que tener lugar dentro de la sub-anillo de $\mathbf{Z}[\omega]:=\{a+b\omega\;|\;a,b\in\mathbf{Z}\}$$\mathbf{C}$. En segundo lugar, por el argumento de ser cierto, tendría $\mathbf{Z}[\omega]$ a ser un disco flash usb, lo cual es falso. Se cree que Fermat falsamente pensamiento de la $\mathbf{Z}[\omega]$'s de ser un UFD para $\omega$ primitiva $n$-ésima raíz de $1$. Creo que se puede encontrar detalles históricos sobre esto en el histórico de notas de Algèbre, Bourbaki.
