Operadores mecánicos cuánticos en el argumento de una exponencial

Question

En la Óptica Cuántica y la Mecánica Cuántica, el operador de evolución temporal

$$U(t,t_i) = \exp\left[\frac{-i}{\hbar}H(t-t_i)\right]$$

se utiliza bastante.

Supongamos que $t_i =0$ para simplificar, y decir que el valor propio y los vectores propios del hamiltioniano son $\lambda_i, \left|\lambda_i\right>$ . Ahora bien, en casi todos los libros que he leído y en mis cursos de conferencias se da el siguiente resultado con muy poca o ninguna explicación:

$$U(t,0) = \sum\limits_i \exp\left[-\frac{i}{\hbar}\lambda_it\right]\left|\lambda_i\right>\left<\lambda_i\right|$$

Esto es un salto bastante lógico y no veo de dónde sale, ¿alguien podría iluminarme?

Answer 1

Empezando por:

$$U(t,t_i) = e^{\frac{-i}{\hbar }H(t-t_i)}$$

Si $t_i=0$ :

$$U(t,0) = e^{\frac{-i}{\hbar }Ht}$$

Usando la identidad: $\sum\limits_i \left|\lambda_i\right>\left<\lambda_i\right|=\mathbb{I}$

$$U(t,0) = \sum\limits_i e^{\frac{-i}{\hbar }Ht}\left|\lambda_i\right>\left<\lambda_i\right|$$

Ya que el exponencial de un operador es (por expansión de Taylor): $e^H=\mathbb{I}+H+\frac{1}{2}H^2+\dots$

Y: $H\left| \lambda_i \right> =\lambda_i \left| \lambda_i \right>$

Deberías ser capaz de verlo:

$$U(t,0) = \sum\limits_i e^{\frac{-i}{\hbar }\lambda_it}\left|\lambda_i\right>\left<\lambda_i\right|$$

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, tomemos el $|\lambda_i\rangle$ sea ortonormal. Obsérvese que, por el teorema espectral, el hamiltoniano puede escribirse como sigue: $$ H = \sum_i \lambda_i P_i, \qquad P_i = |\lambda_i\rangle\langle \lambda_i| $$ Cada operador $P_i$ es un proyector sobre el subespacio abarcado por $|\lambda_i\rangle$ . Obsérvese, en particular, que $$ P_i^2 = P_i, \qquad P_iP_j = P_jP_i = 0 $$ y un argumento de inducción matemática da $$ P_i^n = P_i $$ para todos $n\geq 1$ . Ahora, para simplificar la nota, dejemos que $$ \mu = -\frac{i}{\hbar}t $$ Entonces tenemos $$ U(t,0) = e^{\mu H} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\mu^nH^n $$ pero fíjate que utilizando las propiedades de los operadores de proyección escritas anteriormente, tenemos $$ H^n = \sum_{i_1, \dots, i_n}\lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_n}P_{i_1}\cdots P_{i_n} = \sum_i\lambda_i^nP_i $$ y por lo tanto $$ U(t,0) = \sum_i\sum_n\frac{1}{n!}(\mu\lambda_i)^nP_i = \sum_ie^{\mu\lambda_i}P_i $$ como se desee.