Dual de un espacio vectorial topológico. Es no trivial?

Question

En el caso de la normativa de los espacios sabemos sus duales son no vacíos utilizando una aplicación rápida de la Hahn Teorema de Banach.

Si damos un paso atrás para la clase más grande de localmente convexo espacios, una fascinante secuencia de la separación de los resultados de los rendimientos de otro que no sea trivial dual.

Lo general sobre espacios vectoriales topológicos? Es posible tener un trivial topológico espacio vectorial sobre el que cada funcional lineal es discontinua?

Answer 1

El caso de $L^p$ espacios para $0\lt p\lt 1$ dotado de la distancia $$d(f,g):=\int |f(x)-g(x)|^p\mathrm dx$$ da una normativa espacio cuya única continuo lineal funcional es nulo. De hecho, cada una de las $f$ puede ser escrito como $\frac 1n\sum_{i=1}^nf_i$ donde $d(f_i,0)$ es lo suficientemente pequeño (al menos en el caso de que la medida del espacio es la unidad de intervalo).