Si $ a \mid bc $ entonces $\frac{a}{\gcd(a,b)} \mid c$ ?

Question

Demuestre o rechace esta afirmación:

Si $ a \mid bc $ entonces $\displaystyle \frac{a}{\gcd(a,b)} \mid c$

Answer 1

Sugerencia: Si $a\mid bc$ y $(a,b)=1$ entonces $a\mid c$ . Utiliza esto para mostrar:

$$ \displaystyle a \mid bc \implies \frac{a}{\gcd(a,b)} \mid \frac{b}{\gcd(a,b)}\times c \implies \frac{a}{\gcd(a,b)}\mid c $$ Porque $\gcd(\frac{a}{\gcd(a,b)},\frac{b}{\gcd(a,b)})=1$ .

Answer 2

${}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}$

Answer 3

SUGERENCIA:

Que la mayor potencia de primo $p$ que divide $a,b,c$ sea $A,B,C$ respectivamente

Como $a|bc, A\le B+C\iff A-B\le C\ \ \ \ (1) $

Ahora, el mayor poder $(D)$ de primera $p$ que divide $\displaystyle \frac a{(a,b)}=A-$ min $(A,B)$

Si $A\ge B,D=A-B\le C$ por $(1)$

Si no $D=A-A=0$ que siempre es $\le C$