Como se muestra en la figura: Demuestra que $a\,+\,b\,+\,c=d$

Question

Geometría: Líneas auxiliares

Como se muestra en la figura: Demuestra que $a\,+\,b\,+\,c=d$

Answer 1

Usando la ley del triángulo sinusoidal, $$ \frac e{ \sin (144^{ \circ }-x)}= \frac g{ \sin 36^{ \circ }}$$ y $$ \frac e{ \sin (138^{ \circ }-x)}= \frac {g+f}{ \sin 42^{ \circ }}$$

Así que.., $$f=e \left ( \frac { \sin 42^{ \circ }}{ \sin (138^{ \circ }-x)}- \frac { \sin 36^{ \circ }}{ \sin (144^{ \circ }-x)} \right )$$

$$=e \left ( \frac { \sin 42^{ \circ } \sin (144^{ \circ }-x)- \sin 36^{ \circ } \sin (138^{ \circ }-x)}{ \sin (138^{ \circ }-x) \sin (144^{ \circ }-x)} \right )$$

$2 \sin 42^{ \circ } \sin (144^{ \circ }-x)$ $= \cos (102^{ \circ }-x)- \cos ({186^ \circ }-x)$ usando $2 \sin A \sin B$ $= \cos (102^{ \circ }-x)+ \cos (6^ \circ -x)$ como $ \cos (180^{ \circ }+y)=- \cos y$

$2 \sin 36^{ \circ } \sin (138^{ \circ }-x)= \cos (102^{ \circ }-x)- \cos ({174^ \circ }-x)$ $= \cos (102^{ \circ }-x)+ \cos (6^ \circ +x)$ como $ \cos ({174^ \circ }-x)= \cos\ {180^ \circ -(6^ \circ +x)\}=- \cos (6^ \circ +x)$

Así que.., $$f=e \frac { \cos (6^ \circ -x)- \cos (6^ \circ +x)}{2 \sin (138^{ \circ }-x) \sin (144^{ \circ }-x)}= \frac {e \sin x \sin 6^ \circ }{ \sin (138^{ \circ }-x) \sin (144^{ \circ }-x)}$$

Para $f=a, x=12^ \circ , a= \frac {e \sin 12^ \circ\sin 6^ \circ }{ \sin126 ^{ \circ } \sin132 ^{ \circ }}$

Para $f=b, x=60^ \circ , b= \frac {e \sin 60^ \circ\sin 6^ \circ }{ \sin78 ^{ \circ } \sin84 ^{ \circ }}$

Para $f=c, x=96^ \circ , c= \frac {e \sin 96^ \circ\sin 6^ \circ }{ \sin42 ^{ \circ } \sin48 ^{ \circ }}$

$2 \sin42 ^{ \circ } \sin48 ^{ \circ }= \cos 6^ \circ - \cos 90^ \circ = \cos 6^ \circ $

y $ \sin 96^ \circ = \sin (90+6)^ \circ = \cos 6^ \circ $

Así que.., $ c=2e \sin 6^ \circ $

Para $f=d, x=108^ \circ , d= \frac {e \sin 108^ \circ\sin 6^ \circ }{ \sin30 ^{ \circ } \sin36 ^{ \circ }}= \frac {2e \sin 72^ \circ\sin 6^ \circ }{ \sin36 ^{ \circ }}=4e \cos 36^ \circ \sin 6^ \circ $