¿Qué es un "trivial implicación"?

Question

Esta es una pregunta filosófica. Más a menudo, cuando un cierto axioma o proposición implica otra proposición, esta implicación no es trivial, o "inmediata". Que es, se necesita una prueba que consta de un cierto número de pasos para llegar a la segunda proposición.

Así que en ese caso podemos decir, que Una proposición implica, pero no trivialmente implica la proposición B.

Mi (filosófico) la pregunta es: ¿qué significa para una proposición que implica trivialmente otro, o en otras palabras, que sigue "inmediatamente"? Hay una manera objetiva de determinar si una implicación es trivial? Hace un trivial implicación sólo dependen de una apelación a una intuición sobre "nociones primitivas"?

Tal vez deberíamos excluir de este análisis de casos donde un teorema se utiliza de forma implícita, pero simplemente no se indica explícitamente en aras de la brevedad.

Answer 1

"Trivial" es subjetivo, no objetivo plazo. También es una arriesgada término, pero la regla de oro sería

Usted sólo ha permitido el uso de la palabra "trivial" si estás seguro de que tu lector (y) es capaz de demostrar la implicación con ningún esfuerzo cognitivo.

Escribí esfuerzo cognitivo porque a menudo, la palabra trivial se utiliza cuando la prueba de una afirmación es prácticamente terminado, pero la escritura de la totalidad de la cosa iba a tomar un montón de tiempo, incluso a pesar de que cada paso debe ser muy simple.

Answer 2

Es trivial ver que P.

Cuando esto ocurre en una prueba, se trata esencialmente de hacer una (meta-lógica) afirman que la declaración de "P" es fácilmente implícita por las declaraciones anteriores. Este es uno de los tipos siguientes:

• La implicación puede ser probado por un estándar o comúnmente utilizada argumento.

• El lector que se entiende que el resto de la prueba es probable que sea capaz de llenar el vacío.

Ejemplo del primer tipo

Es fácil ver que, por simetría, podemos asumir P.

Normalmente se verifica esta observando (meta-lógico) que las declaraciones anteriores son invariantes bajo una simetría (generalmente una permutación de las variables) y P es verdadero en uno de los casos en virtud de la simetría. Por ejemplo, si tenemos reales $x,y$ de manera tal que cada una de las declaraciones que hemos probado se mantiene cuando cambiamos de $x,y$, entonces sabemos que podemos elegir para intercambiar o no $x \le y$. Así que podemos decir "Por simetría, podemos suponer $x \le y$".

Si usted piensa acerca de ello, este razonamiento acerca de la simetría no es en absoluto un corto deducción en el sentido de que usted tiene que comprobar cada instrucción anterior. Pero sin embargo es una técnica estándar que no vale la pena escribir todos los detalles para evitar la simetría argumento. Una alternativa es mostrar un caso y el estado que el otro es similar, el cual es esencialmente el mismo reclamo de la trivialidad.

Ejemplo del segundo tipo

Es trivial comprobar que P(0) se mantiene.

Esto es a menudo utilizado en la inducción al argumento, independientemente de lo que P es, ya que normalmente es el caso de que la audiencia puede fácilmente averiguar cómo probar por su cuenta y sería un desperdicio de espacio y tiempo para escribir los detalles.

Ejemplo de ambos tipos

Una manera uniforme continua la función en $[0,1]$ es trivialmente continua.

La trivialidad viene abajo a la base de meta-lógica hecho de que un "$\exists \forall$" declaración implica siempre el correspondiente "$\forall \exists$" declaración donde los cuantificadores son intercambiados. Cada lector entrenado en matemáticas básicas que se espera que sepan esto, y entonces está bien de considerar que es trivial.

Answer 3

Como un suplemento comentario, un trivial implicación podría ser una consecuencia de la forma $P \Rightarrow Q$ donde $P$ es una declaración falsa y $Q$ es una declaración; sólo tenga en cuenta que el $P \Rightarrow Q$ es equivalente a $\sim P$ o $Q$.