Bijective isometría que fija el origen de $\mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}^{n}$ es lineal

Question

Yo estaba pasando por el Hall del libro sobre la Mentira de los grupos.Mientras que la presentación de Euler grupos $E(n)$ y en la manera de probar que forman una matriz de Mentir grupo hee hizo una propuesta de que Cada uno de ellos en la distancia de la preservación de mapa de $\mathbb{R}^{n}$ $\mathbb{R}^{n}$que fija el origen será lineal.Él no se ha demostrado.Para $n=1$ es claro.Pero como para demostrar que en general ?

Answer 1

Deje $\varphi: {\mathbb R}^n\to{\mathbb R}^n$ ser una isometría con $\varphi(0)=0$. Entonces, para cualquier $v\in {\mathbb R}^n$ y cualquier $\lambda\in [0,1]$, $$(\dagger)\qquad \|\varphi(\lambda v)\| = \|\varphi(\lambda v) - \varphi(0)\|=\|\lambda v - 0\| = \lambda \| v\|=\lambda\|\varphi(v)\|\\(\ddagger)\qquad\|\varphi(v)-\varphi(\lambda v)\| = \|v - \lambda v\| = (1-\lambda)\|v\|=(1-\lambda)\|\varphi(v)\|$$ En particular,$\|\varphi(v) - \varphi(\lambda v)\| + \|\varphi(\lambda v)\| = \|\varphi(v)\|$, lo que implica que $0$, $\varphi(\lambda v)$ y $\varphi(v)$ son colinear, decir $\varphi(\lambda v)=\mu\varphi(v)$. A continuación, $(\dagger)$ $(\ddagger)$ dar $|\mu|=\lambda$$|1-\mu|=(1-\lambda)$, lo $\mu=\lambda$ y, por tanto,$\varphi(\lambda v)=\lambda \varphi(v)$.

Más generalmente, se puede comprobar que el argumento se generaliza para mostrar que $$\varphi(\lambda v + (1-\lambda)w)=\lambda \varphi(v) + (1-\lambda)\varphi(w)$$ for $v,w\in{\mathbb R}^n$ and $\lambda\in [0,1]$; applying this with $\lambda=\frac{1}{2}$ and using $\varphi(\lambda\cdot -)=\lambda\cdot\varphi(-)$ da la linealidad.

Answer 2

Deje $T: \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ ser un bijective isometría, y deje $\ell \subset \mathbb R^n$ ser una línea en $\mathbb R^n$. Tome $v, w\in \ell$, y vamos a $$c_t = (1-t)v + tw.$$ Ahora, vamos a $S$ $S'$ ser las esferas de radio $\Vert v - c_{1/2}\Vert$ $v$ $w$ respectivamente. A continuación,$S \cap S' = \{c_{1/2}\}$, y desde $T$ mapas esferas bijectively a las esferas del mismo radio, $T(S) \cap T(S') = \{T(c_{1/2})\}$. Así, $T(v)$, $T(w)$, y $T(c_{1/2})$ son todos colinear. Repitiendo este argumento, podemos ver que $T(v)$ $T(w)$ son colinear para cada $T(c_t)$ donde $t\in[0,1]$ es un diádica racional.

Por la continuidad, $T(\ell)$ es una línea, por lo $T$ es afín. El lineal mapas son precisamente los afín mapas que fijar el origen, por lo $T$ es lineal.