¿Cómo es el ángulo entre 2 vectores en más de 3 dimensiones definidas?

Question

Me gustaría saber cómo el ángulo entre dos n-vectores se define. Me refiero a si es único y cómo podemos calcular (es el producto interior un método válido en el espacio n-dimensional?). He encontrado muy poca información sobre este tema en internet. Gracias

Answer 1

Si los dos vectores $v$ $w$ son no colineales, a continuación, que abarcan un plano bidimensional $E\subset{\mathbb R}^n$. Este plano hereda el dado por el producto escalar en ${\mathbb R}^n$, por lo que se convierte en una ordinaria plano euclidiano como la hoja de papel que está dibujando. Los ángulos en este plano están relacionados con el producto escalar como lo son en dos dimensiones del vector de la geometría, a saber, por $$\cos\bigl(\angle(v,w)\bigr)={\langle v, w\rangle\over|v|\ |w|}\ .$$

Answer 2

En el $n$-dimensiones del espacio real el ángulo entre dos vectores se define por el interior-producto: $$\cos\theta=\frac{\langle v,w \rangle}{||v||\cdot||w||}$$ Donde $||v||$ es la longitud del vector.

Answer 3

Sin duda se puede calcular el ángulo utilizando la usual interior de la fórmula del producto, también es posible y perfectamente aceptable usar el mismo sabor de geométrica definición de ángulos como se hace en $\mathbb{R}^2$$\mathbb{R}^3$. Radialmente proyecto de dos vectores distintos de cero en la unidad de la esfera a través del mapa de $\vec{x}\to\vec{x}/\|\vec{x}\|$. Cualquiera de los dos nonidentical puntos en una hypersphere determinar un único "gran círculo", que contiene dos de ellos; el ángulo en radianes puede ser definida como la longitud del arco más corto entre los dos. (Por supuesto, esto plantea la pregunta, "¿Cómo se arclength definido en las dimensiones superiores?" - pero esto es discutible, dado que el 2 y 3 dimensiones definiciones de inmediato generalizar a cualquier dimensión.)

Demostración del producto interior fórmula funciona en dimensiones superiores dada esta definición es bastante fácil: la idea general es utilizar un ortonormales cambio de base de la matriz de $M$ que se lleva al plano determinado por el gran círculo que contiene dos vectores unitarios a la $xy$-plano (interior productos son sin cambios en las $M$'s de acción: $\langle Mx,My\rangle = \langle x,M^TMy\rangle = \langle x,Iy\rangle=\langle x,y\rangle$) y, a continuación, la fórmula de validez se reduce al caso bidimensional.