La verificación de esta integral de la identidad

Question

Tengo que comprobar que $$\int_0^\pi \ln(1+\alpha\cos(x))dx=\pi\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-\alpha^2}}{2}\right)$$ with $|\alfa|<1$. Es mi tarea y no sé por dónde empezar.

Answer 1

Sugerencia: Diferenciar la izquierda de la señal con respecto a $\alpha$. Los detalles son, probablemente, en su libro, pero si no, hay un útil artículo de la Wikipedia. Usted va a conseguir algo que se puede integrar de forma explícita con respecto a $x$.

Comparar con la derivada del lado derecho con respecto a $\alpha$. Por último, observe que el lado izquierdo y el lado derecho de acuerdo a las $\alpha=0$.