Galois grupo de irreductibles polinomio de cuarto grado sobre $\mathbb{Q}$

Question

Real Pregunta es :

¿Cuáles son todos los posibles grupos de galois de una irreductible polinomio de cuarto grado sobre $\mathbb{Q}$

Como el polinomio es irreducible, el grupo de Galois es transitiva subgrupo de $S_4$.

No tengo idea de lo que (en realidad por qué) son transitivos subgrupos de $S_4$.

En primer lugar, me gustaría distinguir lo que son todos los posibles subgrupos (y luego ver por transitiva subgrupos) de $S_4$.

Como $|S_4|=24$ sólo posible a las órdenes de los subgrupos de $S_4$ $\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$

Subgrupo de orden $24$

• $S_4$ es subgrupo de orden $24$ $S_4$ (Trivial)

Subgrupo de orden $12$

• He probado un tiempo atrás que $A_4$ es el único subgrupo de $S_4$ con el fin de $12$, pero yo no podía recordar la prueba de ahora (yo estaría muy agradecido si alguien puede dar alguna pista).

Subgrupos de orden $8$

• Como $|S_4|=2^3.3$, sí existe un sylow $2$ subgrupo es decir, subgrupo de orden $8$$S_4$. Sólo grupos (hasta isomorfismo) de la orden $8$: $\mathbb{Z}_8,\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2, D_8,Q_8$.

  • $\mathbb{Z}_8$ no puede ser un subgrupo de $S_4$ $S_4$ no tiene un elemento de orden $8$.

  • Con mucho trabajo pude ver que ningún elemento de orden $4$ viajes con un elemento de orden $2$ $\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_2$ no puede ser subgrupo de $S_4$.(Ayuda)

  • A partir de ahora no puedo concluir por qué (yo sé que es pero no se por qué) $ \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ es un subgrupo de $S_4$. (Ayuda)

  • Sé $D_8$ puede ser visto como un subgrupo de $S_4$.

  • Sé $Q_8$ no puede ser un subgrupo de $S_4$.

Subgrupos de orden $6$

• Sólo los grupos de orden $6$$\mathbb{Z}_6$$S_3$.

  • $\mathbb{Z}_6$ no puede ser subgrupo de $S_4$ $S_4$ no tiene un elemento de orden $6$.
  • $S_3$ es subgrupo de $S_4$. Este no es transitiva porque : Supongamos $S_3$ corrige $4$, entonces no hay manera que puedo conseguir un elemento que se asigna decir $3$$4$. Por lo tanto $S_3$ no es transitiva subgrupo de $S_4$.. Así que, esta $S_3$ es de fuera de este juego.

Subgrupos de orden $4$

• Sólo subgrupos de orden $4$$\mathbb{Z}_4$$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$.

  • $\mathbb{Z}_4$ es un subgrupo de $S_4$ $\{Id, (1234),(13)(24),(1432)\}$ que se puede ver fácilmente a ser transitivos..

  En $\mathbb{Z}_4$, me pueden enviar $1$ $2$con $(1234)$ ; $1$ a $3$ $(13)(24)$ $1$ $4$ $(1432)$igualmente puedo otros elementos para cada una de elemento.. Así, $\mathbb{Z}_4$ es transitiva subgrupo de $S_4$.

• $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ es un subgrupo de $S_4$ visto como $\{Id, (12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ . En esto también me puede enviar cada elemento con todos los demás elementos y por lo tanto $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ es transitivo subgrupo de $S_4$.

Subgrupos de orden $3$

• Ningún subgrupo de orden $3$ pueden ser transitivos por la misma razón (en realidad, para una más sencilla razón) como por $S_3$ no es transitiva.

Subgrupos de orden $2$

• Ningún subgrupo de orden $2$ pueden ser transitivos por la misma razón (en realidad, para una más sencilla razón)como por $S_3$ no es transitiva.

Subgrupos de orden $1$

• Trivial subgrupo no es transitiva.

Así, Sólo los subgrupos de importancia (transitivo subgrupos) estoy preocupado....

• $S_4$ que es trivialmente transitiva
• $A_4$ es transitiva.
• $D_8$ es transitiva.
• $\mathbb{Z}_4$ es transitiva.
• $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ es transitiva.

Yo estaría muy agradecido si alguien me puede ayudar a hacer esto un poco más claro y simple..

Answer 1

Transitivo subgrupo tiene que tener un orden divisible por el número de elementos de a $n$ permutada, en este caso $n=4$. No todos los subgrupos necesita ser transitivo.

La primera parte es debido a la órbita-estabilizador de teorema - sabemos que la órbita tiene el tamaño de $n$ y el orden del grupo es, a continuación, $n \times |S|$ donde $S$ es el estabilizador de un elemento, por lo tanto es divisible por $n$.

Las personas no siempre saben o utilizar las versiones completas de los Teoremas de Sylow, que, por ejemplo, un grupo de $G$ orden $p^nq$ $p$ prime, $(p,q)=1$$n\ge 1$, que hay un subgrupo de orden $p^n$, que todos los subgrupos de orden $p^n$ $G$ son conjugado a cada uno de los otros, que el número de subgrupos es congruente a $1$ modulo $p$ y un factor de $q$ (y es igual al índice de la normalización del subgrupo de $G$ - que es la órbita-estabilizador resultado de nuevo).

Para el subgrupo de orden $8$ usted puede utilizar todos los Sylow $2$-Subgrupos son conjugado a cada uno de los otros. Junto a estos subgrupos contener todos los elementos cuyo orden es una potencia de $2$, y la unión de ellos consiste en completar las clases conjugacy. Desde el conjugacy clases en un grupo simétrico están determinadas por el tipo de ciclo, y todos los subgrupos de orden $8$ son conjugado a la otra, cada grupo de orden $8$ debe contener al menos un representante de cada clase conjugacy de elementos de orden $2$ o $4$ (no hay elementos de orden $8$) - estos son los tipos de $(1234), (12)(34), (12)$

Por lo que necesita una $4$-ciclo y nota que su plaza es un producto de dos transposiciones. Y el subgrupo también contiene una transposición. El producto de una transposición con un $4$-ciclo es una permutación, que es un $3$ciclo o de un producto de dos transposiciones (la identidad es imposible). Un grupo de orden $8$ no puede contener un $3$-ciclo, por lo que necesita para generar un producto de dos transposiciones.

Esta doble transposición serán diferentes a los de la plaza de la 4-ciclo, por lo que es fácil ver que todos los tres de estos elementos serán incluidos en el subgrupo (ya que cada uno es el producto de los otros dos). Así, el grupo contiene la identidad, $4$- ciclo y su inversa, los tres elementos de tipo $(12)(34)$ - y, por tanto, dos transposiciones, la cual puede ser calculada multiplicando el $4$-ciclo por el doble transposición de los elementos.

Usted puede determinar el tipo de este grupo. Debido a que contiene un $4$ciclo de cualquier grupo está garantizado para ser transitivo. Deje $v$ ser el ciclo de cuatro y $d$ una doble transposición con $v^2\neq d$, $vd$ es una transposición y $vdvd=id$ donde $v^4=d^2=id$ $dvd=v^{-1}$ y se obtiene el diedro grupo.

Tenga en cuenta que cada subgrupo de orden $4$ es un subgrupo de Sylow de los subgrupos de orden $8$ - que es otra forma de identificar posibles (menos bueno en este caso). También tenga en cuenta que $\{id , (12), (34), (12)(34)\}$ es un subgrupo de orden $4$ que no es transitiva.

Para el subgrupo de orden $12$, ten en cuenta que un subgrupo de índice $2$ siempre es normal, y por lo tanto se compone de la totalidad de las clases conjugacy:

Id - $1$ elemento

$(12)$ - $6$ transposiciones

$(12)(34)$ - $3$ los productos de dos transposiciones

$(123)$ - $8$ $3$-los ciclos de

$(1234)$ - $6$ $4$-los ciclos de

$A_4$ es la única posibilidad, ya que un conjugacy clase de tamaño de $6$ no caben.

Answer 2

Todo lo que quería demostrar es que :

• $S_4$no puede haber un subgrupo de orden $8$ de la forma $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$

• Cualquier subgrupo de orden $12$ $S_4$ $A_4$...

La mitad del crédito va a Gerry Myerson y la otra mitad para Marcar Bennet...

Ahora, primero quiero demostrar que el elemento en que $S_4$no puede haber un subgrupo de orden $8$ de la forma $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$..

cualquier elemento de $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ tiene que ser una transposición o producto de dos transposición...

No puedo tener una transposición en ese subgrupo porque desplazamientos con sólo 3 no de elementos de identidad, donde, ya que tiene que conmuta con 7 no de elementos de identidad para estar en ese grupo...

No puedo formar un subgrupo de orden $8$ con sólo tres elementos :D (estoy hablando de los demás elementos de la $(12)(34),(13)(24),(14)(23)$.. así que, estoy hecho :D :D :D

Créditos por este medio es para Gerry Myerson..

Ahora quiero demostrar que Cualquier subgrupo de orden $12$ $S_4$ $A_4$

Cualquier subgrupo de orden $12$ $S_4$ es normal..

Cualquier grupo normal debe contener toda la clase conjugacy...

Los representantes (y cardinalidad) de clases conjugacy

Id - $1$ elemento

$(12)$ - $6$ transposiciones

$(12)(34)$ - $3$ los productos de dos transposiciones

$(123)$ - $8$ $3$-los ciclos de

$(1234)$ - $6$ $4$-los ciclos de

Ahora, este subgrupo $H$ $S_4$ no puede tener conjugacy clase habiendo $6$ elementos(por que para estar en $H$ necesitamos otra clase conjugacy de $5$ elementos que no es posible)

Por lo tanto, $H$ no puede ningún elemento de la forma $(12)$ o $(1234)$

Hay una posibilidad de $H$ a consistir en una clase conjugacy de cardinalidad $8$ ya que hay otra clase conjugacy de cardinalidad $3$ la adición de hasta un $11$ elementos y en particular con la identidad llegamos a todo el grupo.

Por lo tanto $H=\{Id, Cl\{(123)\}, Cl\{(12)(34)\}\}=A_4$

Créditos para este semestre va a Marcar Bennet