Evaluar la integral de la $\int_{-1}^1 x \ln \frac{x}{1-e^{-a x}} dx$

Question

¿Cómo evaluar esta integral definida, con una combinación de funciones logarítmicas y exponenciales:

$$I(a)=\int_{-1}^1 x \ln \frac{x}{1-e^{-a x}} dx, \qquad a \geq 0$$

Mathematica didin no se resuelve para el caso general.

Mi solución es escondido debajo de (spoiler tag no funciona correctamente para múltiples líneas por alguna razón).

Sustituto $x=-t$:

$$I(a)=\int_{-1}^1 t \ln \frac{e^{a t}-1}{t} dt$$

$$2 I(a)=\int_{-1}^1 x \ln \frac{e^{a x}-1}{1-e^{-a x}} dx=a \int_{-1}^1 x^2 dx+\int_{-1}^1 x \ln 1 dx=\frac{2a}{3}$$

La respuesta es:

$$I(a)=\frac{a}{3}$$

Esa no es la manera de hecho, encontré esta solución, aunque.

Pero ¿cómo podría, a primera vista, el intento de resolverlo?

Answer 1

La simetría es la clave. Deje $f_a(x)=x \log\frac{x}{1-e^{-a x}}$. Podemos observar que la

$$f_a(-x) = -x \log \frac{x}{e^{ax}-1} = -x\log\frac{x}{1-e^{-ax}}-x\log\frac{1}{e^{ax}}=-f_a(x)+ax^2 \tag{1}$$ por lo tanto: $$\int_{-1}^{1}f_a(x)\,dx = \int_{0}^{1}\left(f_a(x)+f_a(-x)\right)\,dx=\int_{0}^{1}ax^2\,dx =\color{red}{\frac{a}{3}}.\tag{2}$$

Answer 2

Una ligera generalización $(q>0,n\in\mathbb{N})$. Deje que nos indican

$$\ I_{p,n}(a)=\int_{-q}^qdxx^{2n-1}\log\left(\frac{x}{1-e^{-ax}}\right)$$ Ahora diferenciar w.r.t $a$. Tenemos

$$I_{q,n}'(a)=\int_{-q}^{q}dx\frac{x^{2n}}{1-e^{ax}}=\int_{0}^{q}dx\frac{x^{2n}}{1-e^{ax}}+\int_{-q}^{0}dx\frac{x^{2n}}{1-e^{ax}}=\\ =\int_{0}^{q}dx\frac{x^{2n}}{1-e^{ax}}+\int_{0}^{q}dx\frac{x^{2n}}{1-e^{-ax}}=\\ \int_{0}^{q}dx\frac{x^{2n}}{1-e^{ax}}-\int_{0}^{q}dx\frac{x^{2n}e^{ax}}{1-e^{ax}}=\\ \\\int_{0}^{q}dxx^{2n}=\frac{q^{2n+1}}{2n+1}$$

así

$$I_{p,n}(a)=\frac{q^{2n+1}} {2n+1}+C$$

pero por simetría $I(0_+)=0$ y obtenemos

$$I_{p,n}(a)=\frac{q^{2n+1}} {2n+1}$$

y la pregunta es respondida mediante el establecimiento $q=1,n=1$

$$I(a)=I_{1,1}(a)=\frac{a}{3}$$