Demostrar que la ampliación de un campo no es sencilla

Question

Estoy leyendo el libro de texto de teoría de Galois de Stewart, y es fácil encontrar ejemplos tanto en el libro de texto como en Internet sobre pruebas de que ciertas extensiones algebraicas son simples. Por ejemplo, que $\mathbb{Q}(\sqrt2, \sqrt3) = \mathbb{Q}(\sqrt2 + \sqrt{3})$

Mi pregunta es, ¿cómo hago para demostrar que una extensión es no ¿Simple? Por ejemplo $\mathbb{Q}(\sqrt5,\sqrt7)$ . Hasta ahora creo que he demostrado que $\mathbb{Q}(\sqrt5,\sqrt7) \neq \mathbb{Q}(\sqrt5 + \sqrt7)$ y también que $\sqrt5, \sqrt7$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$ Por lo tanto $\mathbb{Q}(\sqrt5,\sqrt7) \neq \mathbb{Q}(\sqrt5)$ y $\mathbb{Q}(\sqrt5,\sqrt7) \neq \mathbb{Q}(\sqrt7)$

No creo que esto sea suficiente; necesito demostrar en general que no hay $\alpha \in \mathbb{C}$ tal que $\mathbb{Q}(\sqrt5,\sqrt7) = \mathbb{Q}(\alpha)$ y no creo haber agotado todas las posibilidades con los tres casos anteriores. Pensé que debería ver cómo el polinomio mínimo para $\alpha$ pero no sé por dónde empezar.

Además, la cuestión de si $\mathbb{Q}(\sqrt5,\sqrt7)$ es simple se da en Stewart justo después de definir la extensión simple, antes de introducir herramientas como la ley de la torre, la normalidad, la separabilidad, etc. Por lo tanto, creo que se espera que el lector resuelva esto utilizando definiciones simples.

Answer 1

Creo que el ejemplo que estás viendo es simple, y $\mathbb Q(\sqrt 5, \sqrt 7)$ hace igual $\mathbb Q(\sqrt 5 + \sqrt 7)$ .

Como este ejemplo aparece tan pronto en el libro, y estás buscando una forma elemental de ver esto, te sugiero que amplíes $(\sqrt 5 + \sqrt 7)^2$ y $(\sqrt 5 + \sqrt 7)^3$ . Entonces podrías intentar escribir $\sqrt 5$ y $\sqrt 7$ como polinomios en $\sqrt 5 + \sqrt 7$ .

Answer 2

Toda extensión finita separable es una extensión simple. Por lo tanto, no se puede demostrar que esto no es simple.

El enunciado que he citado es el enunciado de lo que se denomina Teorema del elemento primitivo.

Si quieres construir algunas extensiones que no sean simples piensa en extensiones que no sean separables.

Answer 3

Obsérvese, por ejemplo, que

$$\sqrt7-\sqrt5=\frac2{\sqrt7+\sqrt5}\in\Bbb Q(\sqrt5+\sqrt7)\;$$ y, por tanto

$$\sqrt7=\frac{(\sqrt7+\sqrt5)+(\sqrt7-\sqrt5)}2\in\Bbb Q(\sqrt5+\sqrt7)$$

y análogamente para $\;\sqrt 5\;$ y, por tanto $\;\Bbb Q(\sqrt5,\,\sqrt7)=\Bbb Q(\sqrt5+\sqrt7)\;$