¿Cómo maximizar el volumen de un paralelepípedo rectangular en un elipsoide?

Question

Esta pregunta viene de un examen de hace unos 15 años.

Cómo encontrar el volumen máximo de un paralelepípedo rectangular inscrito en un elipsoide $ \frac {x^2}{a^2}+ \frac {y^2}{b^2}+ \frac {z^2}{c^2}=1$ ?

Creo que esto debería ser resuelto por los mulitplicadores de Lagrange. pero no se da que el paralelepípedo sea paralelo a los ejes, por lo que no puedo aplicar el método inmediatamente.
Me he cansado de probar que el único paralelepípedo de un elipsoide debe ser paralelo a los ejes; aunque esto parece obvio, no he encontrado la forma de probarlo rigurosamente.
Si puedo probar esto, entonces los pasos siguientes de Lagrange no son tan difíciles para mí.
Así que cualquier ayuda es bien apreciada.

Answer 1

Aplicar una transformación lineal con det=1 que convierta el elipsoide en una esfera. Transforma el conjunto de paralelepípedos inscritos en el elipsoide en el conjunto de paralelepípedos inscritos en la esfera, conservando sus volúmenes. Demuestra que el paralelepípedo de máximo volumen inscrito en la esfera es un cubo. Transformar de nuevo al elipsoide.