Ayuda en la redacción de contraposición

Question

Generalmente me parece un juego de niños para escribir el contrapositivo, pero la siguiente declaración es bastante complejo para la tarea:

Para todos los enteros $n > 1$ si $n$ no es primo, entonces existe un número primo $p$ tal que $p \leq \sqrt n$ $n$ es divisible por $p$.

Es que "no existe ningún número primo $p$ tal que $p \leq \sqrt n$ $p \, | \, n$ que $(n > 1)$ para un primer entero $n$"? Lo extraño aquí es que la primera declaración universal (para todos los enteros $n$) no fue convertida en una condicional, lo que me hace incómodo.

Te agradecería un poco de orientación.

Answer 1

Usted tiene la instrucción:

Para todos los enteros $n > 1$ si $n$ no es primo, entonces existe un número primo $p$ tal que $p \leq \sqrt n$ $n$ es divisible por $p$.

Esta es una declaración de la forma $$\text{Let }\;n\in \mathbb Z, n > 1: \quad \forall n\left [\lnot P(n) \implies \exists p (Q(n, p) \land R(n, p))\right]$$

Es contrapositivo es:

Para todos los enteros $n\gt 1$, si no existe un número primo $p$ tal que $p \leq \sqrt n$ $n$ es divisible por $p$, $n$ es primo.

Que es una declaración de la forma $$\text{Let}\;n\in \mathbb Z, n > 1:\quad \forall n [\lnot \exists p(Q(n,p) \land R(n,p)) \implies P(n))$$

Answer 2

El contrapositivo es: Vamos a $n > 1$ ser un número entero. Si no existe un prime $p$ tal que $p \leq \sqrt{n}$ $n$ es divisible por $p$, $n$ es primo.

O en otras palabras: vamos a $n > 1$. Si para todos los números primos $p$, $p > \sqrt{n}$ o $n$ no es divisible por $p$, $n$ es primo.

Estamos comenzando con un entero arbitrario $n > 1$. El contrapositivo a la "si $n$ no es primo, entonces existe un número primo $p$ tal que $p≤ \sqrt{n}$ $n$ es divisible por $p$" es "si para todos los números primos $p$, $p > \sqrt{n}$ o $n$ no es divisible por $p$, $n$ es primo". El contrapositivo a $A \implies B$ es "si no $B$, entonces el no $A$." Pero su declaración original fue de la forma "Para todo $n > 1$, $A$ implica $B$." Así que el "contrapositivo" sería "Para todos los $n > 1$, no $B$ implica que no $A$."

Answer 3

Vamos a escribir como FO fórmula: $$(n>1)\wedge(\mbox{ $n$ is not prime})\Longrightarrow \exists p((p \mbox{ is prime}) \wedge (p\leq n)\wedge (p|n)) $$ So the contapositive statement will be $$\sim( \exists p((p \mbox{ is prime}) \wedge (p\leq n)\wedge (p|n)))\Longrightarrow \sim ((n>1)\wedge(\mbox{ $n$ is not prime}))$$ which is same as $$ \forall p((p \mbox{ is not prime}) \vee (p> n)\vee (p\not|n))\Longrightarrow ((n\leq1)\vee(\mbox{ $n$ is prime}))$$