La resolución de la cúbico exponencial de la ecuación de Diophantine $x^3+3=2^n$

Question

La ecuación de Diophantine $x^3+3=2^n$ tiene las soluciones obvias $(-1,1)$,$(1,2)$ y $(5,7)$. He estado preguntando si hay otros, pero mis intentos han sido infructuosos (traté de contar con él más de $\Bbb{Q}(\sqrt[3]{3})$, pero no sé las propiedades básicas de este campo, como lo es el anillo de los enteros, el número de clase, etc.). Cualquier ayuda en la solución de este problema sería muy apreciada.

Edit: en realidad podemos dividir esto en dos, la más general de las ecuaciones, es decir, las curvas elípticas $$ x^3+3=y^2 \quad \text{y} \quad x^3+3=2y^2 $$ entonces esto abre otro método para resolverlo.El primero de ellos es, de hecho, un caso especial de la infame Mordell ecuación.

Edit 2: Mirando este papel por Tzanakis y De Weger :http://www.math.uoc.gr/~tzanakis/Papers/PracticalSolutionThueEq.pdf Me preguntaba si podríamos utilizar los métodos descritos en la Sección 3 y extender a estas ecuaciones (los métodos en el papel, sin embargo, requieren algunos computacional de la maquinaria).Esto podría conducir a la solución de un Thue ecuación, que tiene sólo un número finito de soluciones integrales y el método general para la solución de ellos está en el documento vinculado.

Answer 1

Dos casos:

$1)$ $n=2k$. A continuación,$x^3+3=\left(2^k\right)^2$. Pero $a^3+3=b^2$ $2$ soluciones integrales (http://oeis.org/A081119) $(a,b)=(1,\pm 2)$, lo $(x,n)=(1,2)$.

$2)$ $n=2k+1$. A continuación,$(2x)^3+24=\left(2^{k+2}\right)^2$. Pero $a^3+24=b^2$ $8$ soluciones integrales (http://oeis.org/A081119en particular http://oeis.org/A081119/b081119.txt)(he encontrado con un programa, o usted puede ver estas tablas)
$$(a,b)=(-2,\pm 4),(1,\pm 5),(10,\pm32),(8158,\pm736844),$$ por lo $(x,n)=(-1,1),(5,7)$.

Mordell Ecuaciones $x^3+k=y^2$ $k\in\Bbb Z_{\neq 0}$ están totalmente resueltos cuando los $|k|<10^4$ (que se resolvieron en $1998$; ver aquí), así que siempre se puede utilizar este método cuando los números no son muy grandes.