Dividiendo $2012!$ $2013^n$

Question

¿Cuál es la energía más grande de $n$ tal que $2012!$ es divisible por $2013^n$?

Que no se parece a su divisible en absoluto, ya $2012<2013$; estoy en lo cierto?

Answer 1

$2013=3 \times 11 \times 61$. Treinta y dos naturals $ \leq 2012$ son divisibles por $61$ y ninguno es divisible por $61^2$. Al menos treinta y dos naturales son divisibles por $11$ y $3$, y así tenemos que $2013^{32}$ divide $2012!$ pero no más poder de $2013$.

Answer 2

Tenemos $2013=3\times11\times61$. $2012!$ ha $\left\lfloor\frac{2012}{3}\right\rfloor=670$ términos en los productos que son múltiplos de $3$, $\left\lfloor\frac{2012}{11}\right\rfloor=182$ términos que son un múltiplo de $11$ $\left\lfloor\frac{2012}{61}\right\rfloor=32$ términos en los productos que son múltiplos de $61$. Por lo tanto, $2012!$ sólo ha $32$ "$61$"s que puede ser cancelada fuera por $61$$2013$. Por lo que el máximo valor de$n$$32$.

Answer 3

La potencia máxima de $61=$$2012!=\left\lfloor\frac{2012}{61}\right\rfloor$$32$ , la potencia máxima de $11$$2012!$$61\times 3-1=\left\lfloor\frac{2012}{11}\right\rfloor$, la potencia máxima de $11$ $2012!$ $11\times 61-1=\left\lfloor\frac{2012}{3}\right\rfloor$

Por lo que el mínimo de estos números será el máximo poder de $2013$ que divide $2013!$

He utilizado el hecho de que la energía máxima de $p$ un primer dividiendo $q!$ es $=\left\lfloor\frac{q}{p}\right\rfloor$.$\left\lfloor\frac{}{}\right\rfloor$ es el mayor entero de la función.

Answer 4

Un peatón enfoque sería pedir WolphramAlpha para determinar los factores primos de a $2012!$. Y desde $2013=3\times11\times61$, la respuesta a tu pregunta es $n=32$.