Describa los subcampos de $\mathbb{C}$ de la forma: $\mathbb{Q}(\alpha)$ donde $\alpha$ es la raíz cúbica real de $2$ .

Question

Describa los subcampos de $\mathbb{C}$ de la forma: $\mathbb{Q}(\alpha)$ donde $\alpha$ es la raíz cúbica real de $2$ .

Dejemos que $\alpha$ sea la raíz cúbica real de $2$ y considerar $\mathbb{Q}(\alpha)$ . Así como $\alpha$ el subcampo $\mathbb{Q}(\alpha)$ debe contener $\alpha^2$ . Demostramos que $$\alpha^2\neq j+k\alpha \text{ for } j,k \in \mathbb{Q}.$$ Para una contradicción, supongamos que $\alpha^2=j+k\alpha$ . Entonces $$2=\alpha^3=\alpha(j+k\alpha)=j \alpha + k \alpha^2=j\alpha + k(j+k\alpha)=j\alpha+jk+k^2\alpha=jk+(j+k^2)\alpha.$$ Por lo tanto, $(j+k^2)\alpha=2-jk$ . Desde $\alpha$ es irracional, $j+k^2=0=2-jk.$ Tenga en cuenta que $j+k^2=0 \iff -j=k^2$ Así que $$j+k^2=0=2-jk \iff k^3=2,$$ lo cual es una contradicción porque $k\in \mathbb{Q}$ .

\N -NNNNNNNN De hecho, $\mathbb{Q}(\alpha)$ es precisamente el conjunto de todos los elementos de $\mathbb{R}$ de la forma $$p+q\alpha + r\alpha^2, \text{ where } p,q,r\in \mathbb{Q}.$$ Para demostrar esto, probamos que el conjunto de tales elementos es un subcampo. Demostraremos que cada elemento de $\mathbb{Q}(\alpha)$ puede expresarse de esta manera. Set $$X=\{p+q\alpha+r\alpha^2 | p,q,r \in \mathbb{Q} \}.$$

• $X$ es un subgrupo del grupo aditivo $(\mathbb{Q}(\alpha), +)$ .
• $1\in X$ es un elemento de identidad para la multiplicación.
• Multiplicación entre a elementos: $$(p+q\alpha+r\alpha^2)(p'+q'\alpha+r'\alpha^2) = p'p+(p'q+pq')\alpha+(p'r+pr'+qq')\alpha^2 +(r'q+rq')\alpha^3+rr'\alpha^4$$

Sé que no puedo tener $\alpha^4$ así que tengo que reescribirlo. ¿Cómo puedo hacerlo?

Respuesta: $$\alpha^4=2\alpha$$

¿Cómo podría abordar la búsqueda de la inversa de $p+q\alpha+r\alpha^2$ ?

Answer 1

Desde $\alpha^3=2$ , $\alpha^4=\alpha^3\cdot\alpha=2\alpha$ .

Los inversores requieren mucho más ingenio. He aquí un posible enfoque. Tenga en cuenta que $X$ es un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo $\mathbb{Q}$ y que para cualquier $x\in X$ el mapa $\mu_x(y)=xy$ es un $\mathbb{Q}$ -mapa lineal $X\to X$ . Si $x\not=0$ Además, $\mu_x$ es inyectiva. Pero cualquier mapa lineal inyectivo desde un espacio vectorial de dimensión finita hacia sí mismo es también suryectivo. De ello se deduce que $1$ es a imagen y semejanza de $\mu_x$ que dice exactamente eso $x$ tiene un inverso.

(En principio, utilizando la regla de Cramer para calcular la inversa del mapa lineal $\mu_x$ se puede utilizar este argumento para escribir explícitamente una fórmula para $x^{-1}$ ).

Answer 2

La ecuación $X^3 - 2 = 0$ tiene tres raíces, a saber $\alpha$ , $j\alpha$ et $j^2\alpha$ , donde $j$ es una raíz cúbica de la unidad. Por lo tanto, $p+q\alpha+r\alpha^2$ tiene dos conjugados: $p+qj\alpha+rj^2\alpha^2$ et $p+qj^2\alpha+rj\alpha^2$ . El producto de los tres será racional. La inversa se puede escribir: $$\frac{1}{p+q\alpha+r\alpha^2} = \frac{(p+qj\alpha+rj^2\alpha^2)(p+qj^2\alpha+rj\alpha^2)} {(p+q\alpha+r\alpha^2)(p+qj\alpha+rj^2\alpha^2)(p+qj^2\alpha+rj\alpha^2)} = \frac{(p^2-2qr)+(2r^2-pq)\alpha+(q^2-pr)\alpha^2} {p^3+2q^3+4r^3-6pqr}$$ Si quiere saber más, debería leer un curso sobre la teoría de Galois, por ejemplo los apuntes de clase de Milne que están disponibles en línea: http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FTe6.pdf

Answer 3

Permítame primero reformular con precisión su pregunta: si a es una raíz cúbica real de 2, sabes que cada elemento x del campo Q ( a ) puede escribirse de forma única como x \= p + q a + r a ^2, con p, q, r en Q y se quiere calcular una expresión "polinómica" análoga para la inversa x ^-1 ?

La respuesta es muy sencilla si nos remontamos a la clásica descripción "polinómica" del campo Q ( a ), que es el comienzo de la teoría de las extensiones algebraicas de un campo. Lo recuerdo aquí. Denotemos como siempre por Q [ a ] el anillo generado por Q et a . Por la propiedad universal del anillo de polinomios Q [X], tenemos un homomorfismo de anillo h de Q [X] a Q [ a ] que envía a X a a . Por construcción, h es sobreyectiva, y su núcleo es obviamente el ideal principal generado por X^3 - 2, porque este polinomio es irreducible sobre Q (la prueba más corta utiliza el criterio de Eisenstein; una prueba más larga es la que diste para la descripción "polinómica" de los elementos de Q ( a )). Por lo tanto, tenemos que Q [ a ] es isomorfo al cociente Q [X]/(X^3 - 2), que es un campo, ya que el ideal (X^3 - 2) es máximo porque X^3 - 2 es irreducible. Así que Q [ a ] = Q ( a ). Obsérvese que esto da de nuevo la mencionada descripción "polinómica" de los elementos de Q ( a ). Pero da más si detallamos la prueba de la existencia de los inversos (maximalidad de (X^3 - 2), etc.) : el anillo Q Siendo [X] una UFD, se dispone de la identidad de Bézout, es decir, los polinomios f(X) y g(X) son coprimos si existe u(X) y v(x) tales que : u(X)f(X) + v(X)g(X) = 1. Tomemos aquí f(X) = p + qX + rX^2, que es coprimo de g(X) = X^3 - 2. Aplicando h obtenemos u( a ).f( a ) = 1 , es decir, u( a )es el inverso que buscamos.

Concretamente, dada f(X), debemos encontrar u(X): se trata del algoritmo euclidiano aplicado al cálculo de la identidad de Bézout, véase, por ejemplo, www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/.../divgcd.pdf ¤.