Encuentra el flujo de salida de un tetraedro.

Question

El problema:

Encontrar el flujo $\textbf{F} = 3x\hat{i} + z\hat{j}$ fuera del tetraedro cerrado por el plano $5x + 3y + 3z = 4$ y los planos xy, xz e yz.

Mi solución (equivocada):

He calculado la divergencia de $\textbf{F} = 4$ . Entonces encuentro el volumen del tetraedro $$\frac{\frac{4}{5} * \frac{4}{3} * \frac{4}{3}}{3} = \frac{64}{135}$$ Entonces multiplico el volumen por la divergencia y obtengo $\frac{256}{135}$

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Actualización: La divergencia es en realidad 3, y al calcular el volumen se me olvidó dividir la base por dos.

Answer 1

Su enfoque es perfectamente correcto. La divergencia es incorrecta: es $3$ . Sospecho que también has cometido un error al calcular el volumen del tetraedro.

La proyección del tetraedro en el $xy$ plano es el triángulo delimitado por los ejes, y la línea $5x+3y=4$ es decir, el conjunto $$ D \{(x,y)\;|\; 0 \le x \le \frac{4}{5}, 0 \le y \le \frac{4- 5x}{3} \} $$ Allí el volumen es igual a $$ V = \iint_D \frac{4- 5x-3y}{3}\; dA = \frac{32}{135} $$ Y el flujo es $3V = \frac{96}{135}$ .