Suma de reciprocals de $\phi(n)$

Question

Sea $Q$ el conjunto de números enteros plaza libre menos de un $n$ y $\phi$de que % denotan el φ de Euler.

Actualmente estoy leyendo un artículo donde se menciona que:

$$\sum_{q\in Q}\frac1{\phi(k)}\ge\ln(n)$$

Me gustaría entender de dónde proviene esa desigualdad. ¿Cualquier sugerencia?

Gracias de antemano.

Answer 1

Nota, simplemente por curiosidad, que uno realmente puede obtener la fórmula asintótica $$\sum_{n \leq x} \frac{\mu^2(n)}{\varphi(n)} = \log x + c + o(1),$$ donde $$c = \gamma + \sum_{p} \frac{\log p}{p(p-1)} = 1.332\ldots.$$ Por lo tanto, la deseada, la desigualdad de la siguiente manera para todos los $x$ lo suficientemente grande, y si uno tenía límites explícitos para el término de error que podría hacer una máquina de cálculo para verificar el resto de los casos.

No necesitamos nada de esto, sin embargo. La observación clave es que, para $n$ squarefree, tenemos $$\frac{1}{\varphi(n)} = \frac{1}{n}\prod_{p|n} \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = \frac{1}{n}\prod_{p|n} \left(1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots \right) = \sum_{\substack{m \geq 1 \\ \text{rad}(m) = n}} \frac{1}{m}.$$ Aquí $\text{rad}(m)$ denota la squarefree radical de $m$, es decir, $$\text{rad}(m) = \prod_{p|m} p.$$ Por lo tanto $$\sum_{n \leq x} \frac{\mu^2(n)}{\varphi(n)} = \sum_{n \leq x} \mu^2(n)\sum_{\substack{m \geq 1 \\ \text{rad}(m) = n}} \frac{1}{m} \geq \sum_{k \leq x} \frac{1}{k}.$$ Esta desigualdad es el paso clave, pero vemos casi de inmediato es cierto, ya que si $k \leq x$$\text{rad}(k) \leq x$. En este punto estamos, básicamente, hacer, ya que desde geométricas elementales consideraciones que nos han $$\sum_{k \leq x} \frac{1}{k} \geq \int_1^x \frac{1}{t}dt = \log x.$$