Encuentre $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f(x)\,dx$ si $$f(x)=\begin{cases} \sin(x), & \text{if } \cos(x)\in \mathbb{Q}\\\sin^2(x), & \text{if } \cos(x) \notin \mathbb{Q} \end{cases}$$
No soy capaz de resolver este problema. Este problema es de Real analysis by royden.
La integral de la función que usted proporciona es equivalente a $\int_0^{\pi/2} \sin^2x\,dx$ como señala Michael Hardy en los comentarios anteriores. La razón radica en la diferencia entre ser "contablemente infinito" e "incontablemente infinito". Este es un tema muy profundo y se suele estudiar mediante la teoría de conjuntos. Lo que hay que saber es que la "cardinalidad" de un conjunto es el número de elementos del conjunto. Cuando estudiamos conjuntos infinitos, se mantienen algunas propiedades de los conjuntos finitos, entre ellas la cardinalidad. Los primeros trabajos importantes en este campo fueron publicados por Georg Cantor; en ellos demostró que el conjunto de los racionales tiene una cardinalidad de $\aleph_0$ y que los conjuntos de números reales e irracionales tienen cardinalidad $c$ (continuo). Además, Cantor demostró que $\aleph_0 < c$ utilizando un ingenioso argumento relativo a las desigualdades (aunque esto se demostró más tarde que sus otros resultados).
Un resultado final clave aquí es que los subconjuntos generalmente heredan la cardinalidad del conjunto del que están formados cuando se habla de conjuntos infinitos y subconjuntos infinitos. Por ejemplo, la cardinalidad del conjunto formado tomando los racionales entre $0$ y $1$ es igual a la cardinalidad del conjunto en el dominio $0$ a $10$ (este resultado también es válido para los números reales y los números irracionales). El término "incontablemente infinito" se utiliza a menudo para denotar la cardinalidad $c$ ... esto se puede entender intuitivamente imaginando la enumeración de los números reales entre $0$ y $1$ . Por desgracia, entre cualquier $a$ y $b$ elegimos que hay infinitos reales, por lo que nunca avanzaremos dado cualquier dominio. Asimismo, utilizamos el término "contablemente infinito" para la cardinalidad $\aleph_0$ . Para entenderlo, imagina que enumeras los racionales entre $0$ a $1$ de la siguiente manera: $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}\cdots$ (Básicamente, estamos enumerando todos los $\frac{p}{q}$ que no esté ya en la lista de un determinado $q \geq 2$ y $p$ de $0$ a $q$ para números enteros positivos y no nulos $p$ y $q$ .) Este algoritmo nos permite enumerar los racionales en un dominio dado (dado un tiempo infinito); como tal, lo denominamos "contablemente infinito".
En conclusión, vamos a crear dos conjuntos, uno compuesto por todos los racionales y otro por todos los números reales. El primero se denota por $\Bbb Q$ y tiene cardinalidad $\aleph_0$ . Este último se denota por $\Bbb R$ y tiene cardinalidad $c$ . Vemos entonces que $\Bbb R\backslash\Bbb Q = \Bbb I$ , donde $\Bbb I$ denota el conjunto de números irracionales. (Esto es básicamente decir que si sacamos todos los números racionales del conjunto de los números reales obtenemos los números irracionales. Esto tiene sentido, ya que cualquier número real es racional o irracional). Sin embargo, Cantor ya demostró que $\Bbb I$ tiene cardinalidad $c$ Así vemos que para cualquier dominio tendremos irracionales incontables e infinitos racionales contables. Decimos entonces que "la medida de $\Bbb Q$ es $0$ dentro de este intervalo (para ayudar a entender esto, imagine que su amigo llega a un número entero en el dominio $(0,\infty)$ y te pide que adivines el número. Cualquier número que elijas tendrá una probabilidad infinitesimal de ser correcto. El porcentaje de posibilidades de acertar es menor que cualquier número real, por lo que, en cierto sentido, podemos decir que tus posibilidades son $0\%$ . No es una analogía perfecta, [el evento podría todavía ocurren dado mi criterio] pero no pretendo que sea rígido, sólo ayudar a comprender intuitivamente este tema). Así podemos ver que el conjunto de racionales dentro de un dominio dado es "despreciable" comparado con el conjunto de números irracionales dentro del mismo dominio, eliminando la primera condición de tu función y dando el resultado deseado.
Nota: Aquí hay una lista de páginas de Wikipedia correspondientes a algunos temas del campo de las matemáticas. Puede que estas páginas estén un poco por encima de tus conocimientos actuales, pero deberían conducirte a otras fuentes de información.
_Número Aleph ( $\aleph_0$ )
Cardinalidad
El argumento diagonal de Cantor
Números reales
Números racionales
Complemento (teoría de conjuntos)_
Teorema : Si $g$ es integrable de Riemann en $[a,b]$ y $f=g$ casi en todas partes en $[a,b]$ entonces $f$ es integrable en Lebesgue y $\displaystyle (L)\int_a^bf(x)\,dx=(L)\int_a^bg(x)\,dx=(R)\int_a^bg(x)\,dx$ .
En este caso, considere $g(x)=\sin^2(x)$ . Entonces, como $m(\mathbb Q\cap [0,\pi/2])=0$ , $f=g$ casi en todas partes en $[0,\pi/2]$ . Así que.., $$(L)\int_0^{\pi/2}f(x)\,dx=(R)\int_0^{\pi/2}g(x)\,dx=\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,dx=\frac{\pi}{4}.$$
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