La luna tiene una noche y un día, pero esto no está tan relacionado con tu pregunta como podrías pensar.
La luna es tidally locked con la tierra, lo que significa que el mismo lado siempre mira hacia la tierra. Dado que la Luna también orbita alrededor de la Tierra (con un período de un mes lunar), esto significa que cada lado cambia, en el transcurso de un mes lunar, entre estar orientado hacia el Sol y estar orientado hacia otro lado. Esta es la causa de las fases de la Luna y también describe el ciclo día/noche de la Luna: la Luna llena es cuando la cara que podemos ver está orientada hacia el Sol, es decir, es "de día", y la Luna nueva es cuando la cara que podemos ver está orientada en dirección opuesta al Sol, es decir, es "de noche". Así que la luna tiene noche y día, pero un ciclo noche/día dura un mes lunar.
Sin embargo, esto no responde a tu pregunta de por qué el cielo siempre está oscuro cuando se mira desde la Luna, incluso cuando el Sol está por encima del horizonte.
La razón por la que el cielo parece brillante en la Tierra es que, incluso cuando no hay nubes, la atmósfera dispersa la luz solar, lo que significa que sólo alrededor del 75% de la luz solar que llega al suelo parece proceder del sol, mientras que el resto procede de todo el cielo brillante. A esto se le llama Dispersión Rayleigh y es la razón por la que el cielo aparece azul.
La Luna no tiene una atmósfera apreciable para realizar esta dispersión, por lo que el cielo aparece oscuro.