Quiero mostrar que no hay un único isomorfismo $M \otimes N \to N \otimes M$ tal que $x\otimes y\mapsto y\otimes x$. (Prop. 2.14, i), Atiyah-Macdonald)
Mi prueba idea es tomar un bilineal $f: M \times N \to N \otimes M$ y, a continuación, utilizar la característica universal del producto tensor para obtener una única lineal mapa de $l : M \otimes N \to N \otimes M$. A continuación, mostrar que $l$ es bijective.
Me pueden decir si mi prueba es correcta:
Deje $M,N$ dos $R$-módulos. Deje $(M \otimes N, b)$ ser su producto tensor.
Entonces $$ \varphi: M \times N \to N \otimes M$$ defined as $$ (m,n) \mapsto n \otimes m$$ y $$ (rm , n) \mapsto r(n \otimes m)$$ $$ (m , rn) \mapsto r(m \otimes n)$$
es bilineal. Por lo tanto, por la característica universal del producto tensor existe una única $R$-módulo homomorphism ($\cong$ lineal mapa) $l: M \otimes N \to N \otimes M$ tal que $l \circ b = \varphi$.
$l$ es bijective:
$l$ es surjective: Vamos a $n \otimes m \in N \otimes M$. A continuación,$l(m \otimes n) = l(b(m,n)) = \varphi (m,n) = n \otimes m$.
$l$ es inyectiva: Vamos a $l(m\otimes n) = l(b(m,n)) = 0 = \varphi(m,n) = n \otimes m$. A continuación, $n \otimes m = 0$ implica que cualquiera de las $n$ o $m$ son cero y, por tanto,$m \otimes n = 0$.
