$\frac{\partial f_i}{x_j}=\frac{\partial f_j}{x_i}\implies(f_1,\ldots,f_n)$ es un gradiente

Question

Estaba leyendo una solución cuando me topé con esta declaración.

Tan $$\frac{\partial f_i}{x_j}=\frac{\partial f_j}{x_i}.$$ Then there exists a differentiable function $g$ on $\mathbb{R}^n$ such that $\frac{\partial g} {\partial x_i} = $f_i.

¿Por qué es esto cierto?

Answer 1

Las siguientes pruebas asumir 2 variables.

La prueba de condición necesaria:

Si $(f_i, f_j)$ es el gradiente de una función de $F$, significa que:

$$ \frac{\partial{F}}{\partial{x_i}} = f_i \\ \frac{\partial{F}}{\partial{x_j}} = f_j $$

Ahora, si $F$ continuo segunda derivadas parciales, entonces, de acuerdo con el teorema de Clairaut:

$$ \frac{\partial^2{F}}{\partial{x_i}\partial{x_j}} = \frac{\partial^2{F}}{\partial{x_j}\partial{x_i}} $$

Por lo tanto:

$$ \frac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}} = \frac{\partial{f_j}}{\partial{x_i}} $$

La prueba de la condición suficiente:

La función de $F$, si es que existe, tiene la propiedad:

$$ \frac{\partial{F}}{\partial{x_i}} = f_i $$

Mediante la integración con $x_j$ constante:

$$ F = \int_{x_{i_0}}^{x_i} f_i \, dx_i + R(x_j) \etiqueta{1} $$

Ahora tome derivadas parciales de ambos lados con respecto a $x_j$:

$$ \frac{\partial{F}}{\partial{x_j}} = \frac{\partial}{\partial{x_j}}\int_{x_{i_0}}^{x_i} f_i \, dx_i + R'(x_j) = f_j $$

El uso de diferenciación bajo el signo integral:

$$ \frac{\partial{F}}{\partial{x_j}} = \int_{x_{i_0}}^{x_i} \frac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}} \, dx_i + R'(x_j) = f_j $$

El uso de la suposición de que $\displaystyle \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j} = \dfrac{\partial f_j}{\partial x_i}$:

$$ \frac{\partial{F}}{\partial{x_j}} = \int_{x_{i_0}}^{x_i} \frac{\partial{f_j}}{\partial{x_i}} \, dx_i + R'(x_j) = f_j $$

Que podemos escribir como:

$$ \a la izquierda. f_j \right|_{x_{i_0}}^{x_i} + R'(x_j) = f_j $$

Por lo tanto:

$$ R'(x_j) = f_j(x_{i_0}, x_j) $$

Y:

$$ R(x_j) = \int_{x_{j_0}}^{x_j} f_j \, dx_j $$

Enchufe de nuevo en (1): $$ F = \int_{x_{i_0}}^{x_i} f_i \, dx_i + \int_{x_{j_0}}^{x_j} f_j \, dx_j $$

Por lo tanto, hemos demostrado que $F$ existe.