Mostrar que 13 divide $2^{70}+3^{70}$

Question

Mostrar que divide a que $13$ $2^{70} + 3^{70}$.

Mi principal problema aquí es tratar de averiguar cómo separar los dos elementos en la suma y luego usar el pequeño Teorema de Fermat. ¿Cómo puedo separar los dos?

¡Gracias!

Answer 1

Bueno, estoy en una pequeña longitud de onda diferentes por lo que te entrego mi comentario en una respuesta... Si $n$ es impar el polinomio $x + y$ divide $x^n + y^n$. Dejando así $x = 2^2, y = 3^2,$ y $n = 35$ consigue que $13 = 2^2 + 3^2$ divide $2^{70} + 3^{70}$.

Answer 2

Calcular $2^{70}$ y $3^{70}$ modulo $13$ por separado (por ejemplo, mediante pequeño Teorema de Fermat). Si $2^{70}\equiv a\pmod{13}$ y $3^{70}\equiv b\pmod{13}$, entonces ¿cuál es $2^{70}+3^{70}$ congruentes modulo 13?

Answer 3

% Toque $\rm\: $Fermat poco muestra $\rm\ mod\ 13:\ \ 2^{70} + 3^{70}\ \equiv\ 2^{-2} + 3^{-2}\ \equiv\ 1/4+1/9\ \equiv 13/36\ \equiv\ 0$

Nota $\ $ para una generalización leve aquí.

Answer 4

La forma "rápida" para hacer esto es el siguiente:

$2^{6}=64=-1$(mod 13), $3^{3}=1$ (mod 13)

Por lo tanto usted tiene $2^{70}=(2^{6})^{11}*2^{4}=(-1)*(3)=-3$ (mod 13)

Y $3^{70}=(3^{3})^{13}*3=3$ (mod 13)

Por lo tanto el resultado es $-3+3=0$ (mod 13).

Pequeño Teorema de Fermat implica $a^{p-1}\cong 1$ (mod p), pero esto puede ser más hábil, que no estoy seguro. Tenga en cuenta que el pequeño Teorema de Fermat no es óptima en muchos casos.

Manera el "ultra rápido" puede ser $2^{70}+3^{70}=3^{70}*(1+(2/3)^{70})$. Ahora aviso $2/3=2*9=5$. Y $5^2=-1$, por lo tanto, $(1+(5^{2})^{25})=1+-1=0$. Por lo tanto $2^{70}+3^{70}=0$.