Alguien, me puede mostrar cómo resolver estos sistemas de ecuaciones:

Question

$$\begin{align*} x+y+z &= 2 \\ (x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y) &= 1 \\ x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y) &= -6 \end{align*} $$

Alguien me puede explicar la solución. Pregunté en mathoverflow pero Dios sabe por qué se cerró. Por favor ayuda y detallar el proceso paso a paso. Es una cuestión de RMO (el examen de selección previa equipo indio para OMI)

Answer 1

Así que voy a asumir que usted está buscando solamente entero de soluciones. Llame a las ecuaciones (1), (2) y (3) respectivamente. Expanda (2):

$ x^2 + y^2 + z^2 + 3x y + 3 x z + 3 y z = 1.$

A partir de esta ecuación, se resta el cuadrado de (1) para obtener

$ x y + x z + y z = -3.$

Restar el doble de esta expresión desde la plaza de (1) para obtener

$ x^2 + y^2 + z^2 = 10.$

Aha! Desde $x,y,z$ son números enteros, esto significa $x=\pm 3, y=\pm 1, z =0$ o algunos de permutación de los mismos. (Basta con mirar en los diversos casos. No hay muchas). Por (1), esto significa $x=3,y=-1,z=0$ o algunos de permutación de los mismos.

Answer 2

$$x+y+z=2$$

$$x^2+y^2+z^2+2(xy+zx+yz)=4$$

La segunda ecuación es $x^2+y^2+z^2+3(xy+zx+zy)=1 \implies zx+yz+yx=-3$

Tiene $x^2+y^2+z^2=10$

Usando el $x+y+z=2$ en la tercera ecuación.

$x^2(2-x)+y^2(2-y)+z^2(2-z)=-6 \implies 2(x^2+y^2+z^2)-x^3+z^3+z^3=-6$

Volver a organizar un poco daría

$26 =x^3+y^3+z^3 $

$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$26-3xyz=(2)(10-(-3)) \implies 26-26=3xyz \implies $ de la $x,y,z$ es cero.

Considerar $z=0$ (no se pierde generalidad) ahora tienes $x^2+y^2=10$ y $yx=-3$

Obtener soluciones como $(x,y,z)=(3,-1,0),(0,-1,3)(0,3,-1),(-1,0,3),(3,0,-1)$ y $(-1,0,3)$.

Answer 3

General proceda de:

1. Es calculado $s=x+y+z, q=xy+yz+zx, p=xyz;$
2. Resolver la ecuación de $t^3-st^2+qt-p=0.$