Estoy intentando entender un poco vagos prueba que he encontrado en internet de la convergencia de las analógico de Jacobi de la theta de la función $\displaystyle{\theta(\tau) := \sum_{n = -\infty}^{\infty} e^{2 \pi i n^2 \tau } = 1 + 2 \sum_{n = 1}^{\infty}e^{2 \pi i n^2 \tau } }$ en el contexto de las formas modulares de Hilbert real cuadrática campos. Es bien sabido que esta función es holomorphic en la mitad superior del plano de $\mathbb{H}$, y de hecho estoy seguro de entender bien y escribió una detallada prueba de ello antes de hacer esta pregunta.
El contexto de mi pregunta es la siguiente
Deje $F = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ ser un verdadero cuadrática campo, con $d > 0$ positivo plaza libre entero tal que $d \equiv 2, 3 \pmod{4}$. Suponga también que el $F$ tiene clase número $1$. También su anillo de enteros es $\mathcal{O}_F = \mathbb{Z}[\sqrt{d}] = \mathbb{Z} \oplus\sqrt{d} \, \mathbb{Z} = \{ n + m\sqrt{d} \mid n, m \in \mathbb{Z} \}$. Entonces hay dos real incrustaciones $\sigma_i : F \hookrightarrow \mathbb{R}$$\sigma_1(a + b\sqrt{d}) = a + b\sqrt{d}$$\sigma_2(a + b\sqrt{d}) = a - b\sqrt{d}$, por lo que el $\sigma_1$ es sólo el mapa de identidad, y $\sigma_2$ da el "conjugado" de un elemento.
Ahora para$z = (z_1, z_2) \in \mathbb{H} \times \mathbb{H}$$\alpha \in F$, podemos definir la "traza" de la siguiente manera $\operatorname{Tr}(\alpha z) := \sigma_1(\alpha) z_1 + \sigma_2(\alpha) z_2 = \alpha z_1 + \alpha' z_2$, donde escribimos $\alpha'$ para el conjugado de a $\alpha$.
Por último definimos el holomorphic Hilbert modular de la theta de la función $\vartheta: \mathbb{H} \times \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{C}$ por
$$ \vartheta(z) := \vartheta(z_1, z_2) := \sum_{x \in \mathcal{S}_F} e^{\pi i \operatorname{Tr}(x^2 z)} $$
Estoy tratando de probar la convergencia absoluta de esta serie infinita.
El argumento que he encontrado en internet Para probar la convergencia de la serie, en comparación con Jacobi theta función definida anteriormente. Para ser precisos, el autor observa que
$$ |\vartheta(z)| = \left| \sum_{x \in \mathcal{S}_F} e^{\pi i \operatorname{Tr}(x^2 z)} \right| = \left| \sum_{x \in \mathcal{S}_F} e^{\pi i x^2 z_1} e^{\pi i x'^2 z_2} \right| \leq \left| \sum_{x \in \mathcal{S}_F} e^{2 \pi i x^2 z_1} \right|^{1/2} \left| \sum_{x \in \mathcal{S}_F} e^{2 \pi i x'^2 z_2} \right|^{1/2} $$
donde aparentemente la de Cauchy-Schwarz desigualdad ha sido utilizado en el último paso, aunque no estoy convencido de que es cierto lo señalado. En cualquier caso, a continuación, se hace constar que desde la Jacobi theta función definida por encima de $\displaystyle{\theta(\tau) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} e^{2 \pi i n^2 \tau }}$ es holomorphic en $\mathbb{H}$, entonces cada una de las dos series en el lado derecho de la desigualdad anterior son absolutamente convergentes en compacto pone en $\mathbb{H}$, por lo que la serie original $\vartheta(z_1, z_2)$ converge absolutamente en compacto subests de $\mathbb{H} \times \mathbb{H}$.
Preguntas
Por favor alguien puede ayudarme a entender cómo funciona la convergencia de cada una de las series en el lado derecho de la desigualdad anterior de la siguiente manera a partir del correspondiente hecho por la Jacobi theta función? Quiero decir, ya que cada una de las dos sumas de dinero en el lado derecho de la desigualdad son más de todos los enteros algebraicos $x \in \mathcal{O}_F = \mathbb{Z} \oplus \sqrt{d} \, \mathbb{Z}$, luego las sumas son en realidad el doble de las sumas, por lo que no parecen seguir trivialmente.
Es el argumento donde el Cauchy-Schwarz desigualdad se utiliza correcto? Si no me equivoco, creo que el valor absoluto debe ser dentro de la serie infinita, como este $$ \left | \sum x_n y_n \right| \leq \left( \sum |x_n|^2 \right ) ^{1/2} \left( \sum |y_n|^2 \right ) ^{1/2} $$
Muchas gracias por cualquier ayuda.
