averiguar la función de un número entero

Question

$f(1) = 1\\ 2 f = 2\\ f(3) = 6\\ f(4) = 20\\ f(5) = 70\\ f(6) = 252\\ f(7) = 924\\ f(8) = 3432\\ f(9) = 12870$

Entonces ¿cuál es $f(n)$ (donde $n > 0$)?

Aunque muchas muchas posibilidades pero todavía no puedo averiguar la expresión.

Answer 1

Usted podría acercarse a este tipo de pregunta de esta manera. Le gustaría encontrar cuál es la relación entre el $f_n$ $f_{n+1}$ (usted cree que hay algunos) así que por eso la mayoría de las veces es una buena idea para analizar expresiones como $\frac{f_{n+1}}{f_n}$ o $f_{n+1}-f_n$. Veamos $\frac{f_{n+1}}{f_n}$. Usted puede notar que $\frac{f_{n+1}}{f_{n}}\sim 4$ como la secuencia crece, más precisamente: $$ \begin{array}{ccl} \frac{f_2}{f_1}& = & 2 \\ \frac{f_3}{f_2} & = & 3 \\ \frac{f_4}{f_3} & = &3.(3) \\ \frac{f_5}{f_4} & = & 3.5 \\ \frac{f_6}{f_5} & = & 3.6 \\ \frac{f_7}{f_6} & = & 3.(6)\\ \frac{f_8}{f_7} & = & 3.(714285) \\ \frac{f_9}{f_8} & = & 3.75 \\ \end{array} $$

Así que usted podría esperar que $\frac{f_{n+1}}{f_{n}} = 4 - g_n$ donde$g_n \to 0$$n\to +\infty$. Después de una más precisa de cálculo, se obtiene: $$ \begin{array}{ccl} \frac{f_2}{f_1}& = & 4-\frac{2}{1} \\ \frac{f_3}{f_2} & = & 4-\frac{2}{2} \\ \frac{f_4}{f_3} & = &4-\frac{2}{3} \\ \frac{f_5}{f_4} & = &4-\frac{2}{4} \\ \frac{f_6}{f_5} & = &4-\frac{2}{5} \\ \frac{f_7}{f_6} & = & 4-\frac{2}{6}\\ \frac{f_8}{f_7} & = & 4-\frac{2}{7} \\ \frac{f_9}{f_8} & = & 4-\frac{2}{8} \\ \end{array} $$ Así pudimos ver que $\frac{f_{n+1}}{f_n} = 4-\frac{2}{n} = \frac{2(2n-1)}{n}$. Desde aquí $$\frac{f_{n+1}}{1} =\frac{f_{n+1}}{ f_n } \times \frac{f_{n}}{f_{n-1}} \times \dots \times \frac{f_2}{f_1} = \frac{2(2n-1)}{n}\times \frac{2(2n-3)}{n-1} \dots = \frac{2^n(2n-1)!!}{n!}$$

que es $\binom{2n}{n}$ como ya se ha mencionado

Answer 2

Los coeficientes de binomio Central $$ \binom{2n-2}{n-1} $$ parecen encajar.

Edición: Como comentarios de Nikolay Gromov, esto es la misma secuencia que en su respuesta, aunque no es inmediatamente aparente. Esto es porque $$ (2n-3). ¡= \frac{(2n-2)!} {2^{n-1}(n-1).} $$ que $$ \frac{2^{n-1}(2n-3)!} {(n-1)!} ¡= \frac{(2n-2)!} {(n-1)! (n-1)!} = \binom{2n-2}{n-1} $$

Answer 3

¿Y esto?

$$\frac{2^{n-1} (2 n-3)\text{!!}}{(n-1)!}$$

que da

$$\begin{array}{ccl} f(1) & = & 1 \\ f(2) & = & 2 \\ f(3) & = & 6 \\ f(4) & = & 20 \\ f(5) & = & 70 \\ f(6) & = & 252 \\ f(7) & = & 924 \\ f(8) & = & 3432 \\ f(9) & = & 12870 \\ f(10) & = & 48620 \\ f(11) & = & 184756 \\ f(12) & = & 705432 \\ f(13) & = & 2704156 \\ f(14) & = & 10400600 \\ f(15) & = & 40116600 \\ f(16) & = & 155117520 \\ f(17) & = & 601080390 \\ f(18) & = & 2333606220 \\ f(19) & = & 9075135300 \\ f(20) & = & 35345263800 \\ \end{matriz} $$