Función continua que solo es diferenciable en irracionales

Question

¿Me pueden ayudar a encontrar una función$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que sea continua en$\mathbb{R}$ y diferenciable en$x$ iff$x \notin \mathbb{Q}$?

Muchas gracias !

Answer 1

Interpretando la pregunta como pidiendo una función continua que sea diferenciable solo en lo irracional, podríamos perturbar una de las funciones de Weierstrass y observar

ps

Es fácil ver que es continuo, pero un poco más desafiante de ver sobre su derivada.

Answer 2

Siguientes David Mitra comentario :

Vamos a definir los siguientes Lebesgue-Stieltjes de medida $m$ define de forma tal que $m(E)=\sum_{q_{j}}\frac{1}{2^{j}}I_{q_{j}}(E)$ donde $I_{q_{j}} = 1$ fib $q_{j} \in E$. Por otra parte, vamos a restringir $q_{j}$ a los racionales que se encuentran en $E$ y son más pequeños que los $\sup(E)$. Podemos ver que el $g(x) = \sum_{q_{j}}\frac{1}{2^{j}}H(x-q_{j})$ donde $H$ es la función de Heaviside, es tal que $m(]a,b]) = g(b) - g(a)$. Por lo tanto, sabemos que $g$ es continua en a $x$ fib $m(\lbrace x \rbrace)= 0$. Por lo tanto, podemos concluir que $g$ es continua en a $\mathbb{R}$. Finalmente, es claro que $g$ no es diferenciable en a $\mathbb{Q}$, ya que la derecha y la izquierda de los límites de $g(x+h)-g(x)$ no son lo mismo.

Crees que esto está bien ?
Por CIERTO, gracias por todos los comentarios y por la hermosa respuesta respecto a la Función de Weierstrass :)