funciones y mapas de grados

Question

Para cualquier mapa$f$ entre curvas$C_1$ y$C_2$, se define$\mathrm{deg}(f) = [K(C_1) : f^*K(C_2)]$ como se indica en "La aritmética de las curvas elípticas" de Silverman. Para funciones algebraicas en curvas elípticas, es posible definir el grado como el número de polos (con multiplicidades). ¿Por qué es esto lo mismo? ¿Puedes dar una referencia?

Answer 1

No creo que estos son exactamente los mismos, más bien, el segundo es un ejemplo de la primera. Una función de meromorphic en una curva elíptica $C$ define un morfismos $f:C\to\mathbb P^1,$ y el número de polos es, por definición, el número de puntos en la fibra durante $\infty$ (con multiplicidades). El grado $\deg(f)$ es en general el número de las (distintas) puntos en la general de fibra de $f,$ que es igual al número de polos, siempre y cuando se cuente con la multiplicidad. Así que es lógico que los dos definición de la misma.

Una referencia de la sección II.2 de Silverman (específicamente, Ejemplo 2.2 y la Proposición 2.6 debe ser útil).