en la Nube

Question

No puedo descifrar cómo sortear el numerador cero y el denominador para calcular el límite siguiente:

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Lo intenté:

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Answer 1

Para evitar la regla de L 'Hospital, considere lo siguiente:$$\frac{x^{1/5}-1}{x^{1/6}-1}=\frac{x^{6/30}-1}{x^{5/30}-1}=\frac{(x^{1/30})^6-1}{(x^{1/30})^5-1}=\frac{(x^{1/30}-1)(x^{5/30}+x^{4/30}+\dots+1)}{(x^{1/30}-1)(x^{4/30}+x^{3/30}+\dots+1)}$ $ Entonces:$$\lim_{x\to1}\frac{x^{1/5}-1}{x^{1/6}-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x^{1/30}-1)(x^{5/30}+x^{4/30}+\dots+1)}{(x^{1/30}-1)(x^{4/30}+x^{3/30}+\dots+1)}=\lim_{x\to1}\frac{x^{5/30}+x^{4/30}+\dots+1}{x^{4/30}+x^{3/30}+\dots+1}=\frac{6}{5}$ $

Espero que esto haya proporcionado una alternativa! :)

Answer 2

Aquí hay otra solución que depende de lo que se le permite usar: sustituir$u=x^{\frac{1}{6}}$.

Luego obtenemos$$\lim_{u\rightarrow 1}\frac{u^{\frac{6}{5}}-1}{u-1}$ $ y podemos reconocer esto como la derivada de$u\mapsto u^{\frac{6}{5}}$ en 1, que es por supuesto$\frac{6}{5}$.

Answer 3

Por la regla de L'Hopital: \begin{align}\lim_{x\to1}\frac{x^\frac15-1}{x^\frac16-1}&=\lim_{x\to1}\frac{\frac15x^{-\frac45}}{\frac16x^{-\frac56}}\\&=\frac65.\end {align}

Answer 4

Por la regla de L'Hospital, obtenemos:$$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{\frac{1}{5}}-1}{x^{\frac{1}{6}}-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}}{\frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}}}=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{6}}=\frac{6}{5}$ $

Answer 5

Deje$x=1+y$ con$y\to0$ y use

ps

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