El conjunto de morfismo de un producto tensor a un cierto anillo

Question

Cuando tratamos de probar la existencia de la fibra de producto afín caso, utilizamos la siguiente fórmula pilas proyecto: $$\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}\newcommand{\Mor}{\mathrm{Hom}}\newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}} \begin{eqnarray} \Mor(X, \Spec(A \otimes_R B))& = & \Hom(A \otimes_R B, \mathcal{O}_X(X)) \\ & = &\Hom(A, \mathcal{O}_X(X)) \times_{\Hom(R, \mathcal{O}_X(X))} \Hom(B, \mathcal{O}_X(X)) \\ & = & \Mor(X, \Spec(A))\times_{\Mor(X, \Spec(R))}\Mor(X, \Spec(B)) \end{eqnarray} $$

Mis preguntas son:

1. No sé cómo hacer que se derivan de la segunda fórmula.

2. Además, parte de la tercera igualdad también es confuso para mí. Sé

$$\Hom(A, \mathcal{O}_X(X))=\Mor(X, \Spec(A))$$ Pero ¿qué significa la "fibra de producto" (en la categoría de conjuntos) la notación significa?

Answer 1

Permítanme comenzar con la segunda pregunta. Si $X,Y,$ $Z$ son conjuntos con los mapas de $p:X\to Z$$q:Y\to Z$, entonces el producto de fibra de $X\times_Z Y$ es el conjunto $\{(x,y)\in X\times Y:p(x)=q(y)\}$. (También se puede definir por el mismo universal de los bienes como para los productos de fibra de esquemas, pero la construcción explícita es probablemente más útil pensar en este contexto).

Ahora echemos un vistazo a tu primera pregunta. No es una característica universal del tensor de productos en la categoría de anillos conmutativos: es decir, que son pushouts (doble a de los productos de fibra). He aquí lo que significa explícitamente. Deje $A$ $B$ $R$- álgebras (a través de homomorphisms $i:R\to A$$j:R\to B$), y deje $k:A\to A\otimes_R B$ $\ell:B\to A\otimes_R B$ ser el natural de mapas ( $k(a)=a\otimes 1$ $\ell(b)=1\otimes b$ ). Entonces, dado cualquier anillo de $S$ y cualquier par de homomorphisms $f:A\to S$ $g:B\to S$ tal que $fi=gj$, entonces no hay una única homomorphism $h:A\otimes_R B\to S$ tal que $hk=f$$h\ell=g$.

Ahora, en esta configuración, considere los conjuntos $\operatorname{Hom}(A,S)$, $\operatorname{Hom}(B,S)$, y $\operatorname{Hom}(R,S)$. Hay un mapa de $p:\operatorname{Hom}(A,S)\to\operatorname{Hom}(R,S)$ dado por la composición de la con $i$, y de manera similar a un mapa de $q:\operatorname{Hom}(B,S)\to\operatorname{Hom}(R,S)$ dado por la composición de la con $j$. Podemos utilizar estos mapas para formar el producto de fibra de conjuntos $$\operatorname{Hom}(A,S)\times_{\operatorname{Hom}(R,S)}\operatorname{Hom}(B,S).$$ Explicitly, this is the set of pairs $(f,g)$ where $f:A\to S$, $g:B\a S$, and $fi=gj$. But by the universal property of $\otimes_R B$, such pairs are in bijection with homomorphisms $h:\otimes_R B\a S$. This gives a natural bijection $$\operatorname{Hom}(A\otimes_R B,S)\cong\operatorname{Hom}(A,S)\times_{\operatorname{Hom}(R,S)}\operatorname{Hom}(B,S).$$ Your second equality is just this natural bijection in the case $S=\mathcal{O}_X(X)$.

Answer 2

El empuje en la categoría de anillos conmutativos viene dado por productos tensores, por lo que la segunda fórmula es solo la caracterización de las expulsiones en términos de hom-sets.

Del mismo modo, la notación$A \times_B C$ se refiere al retroceso.

(los mapas$A \to B$ y$C \to B$ en pullback$A \times_B C$ se deben deducir del contexto, del mismo modo que los mapas$R \to A$ y$R \to B$ también se deben deducir de contexto al escribir$A \otimes_R B$)