La suma de dos números positivos es 1. La suma de sus cubos es un máximo. ¿Cuáles son los números?

Question

Configuro esto y termino encontrando el mínimo (los dos números serían ambos $1/2$ ). Para encontrar un valor máximo, podría reflejar las funciones y utilizar $y^3-x^3$ pero sigo encontrando $1/2$ como los dos números. Tiene sentido que dos dos valores para producir un max sean 0 y 1 pero no se me ocurre como plantear el problema desde el principio. Lo que tengo es...

$x+y=1 \\ x^3 + y^3 = max$

Sustitución...

$x^3 - (1-x)^3 = max \\ x^3 - 1 + 3x - 3x^2 + x^3 = max \\ 2x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = max \\ 6x^2 - 6x + 3 = 0 \\ x = 1/2 \text{ which makes }y = 1/2 \\ $

Ahí es donde está mi problema. ¿Cómo lo configuro para que la suma de los cubos sea un máximo?

Answer 1

Para una función definida en un intervalo cerrado. El máximo y el mínimo se encuentran donde la derivada es cero, o en los límites del intervalo .

Usted puede tomar derivados, pero también es necesario comprobar para el caso $x=0$ y $x=1$ . Por cierto, su pregunta original no tiene respuesta. Supongo que querrás decir "no negativo".

Answer 2

Pista: $\;1=(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b) \implies a^3+b^3 \le 1\,$ .

Sin embargo, con $\,a, b \gt 0\,$ estrictamente positivo, el máximo no existe, ya que para $\,a \to 0$ y $b=1-a \to 1\,$ la suma $a^3+b^3$ puede acercarse arbitrariamente a $1$ pero no igual $1$ . Si se permite que $a,b \color{red}{\ge} 0$ entonces el máximo es $1$ y se alcanza para $\{a,b\}=\{0,1\}$ .

Answer 3

Debes dibujar la gráfica de la función cúbica que has encontrado para $x$ después de su sustitución. Entonces verás lo que está pasando.

No se pueden encontrar máximos o mínimos averiguando a ciegas dónde desaparece una derivada. También hay que pensar en lo que ocurre en los extremos del dominio.

En este caso realmente no hay máximo, porque usted está requiriendo positivo $x$ y $y$ por lo que no puede utilizar $0$ . Puede acercarse lo más posible a un valor máximo de $1$ como desee.

Answer 4

Bueno, al principio: $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$ Dado que desea maximizar este y $x+y=1$ Lo entendemos: $$x^3+y^3=x^2-xy+y^2$$ Ahora, puedes ver lo anterior como una cuadrática con respecto a $x$ - una parábola, y calcula: $$\Delta=y^2-4y^2=-3y^2<0$$ Por lo tanto, esta parábola alcanza su valor mínimo - tiene un coeficiente principal positivo - en $x_0=\frac{y}{2}$ y su valor máximo en los límites del intervalo que $x$ pertenecen a. En nuestro caso, como tenemos $x\in(0,1)$ es evidente que esta parábola no puede tener un valor máximo. Sin embargo, si dejamos que - como proponen muchos - $x,y\in[0,1]$ vemos que el valor máximo deseado puede alcanzarse para: $$x=0,y=1$$ o, simétricamente, para $$x=1,y=0$$

Como alternativa, puede sustituir $y=1-x$ en la cuadrática anterior y obtener eso: $$x^3+y^3=x^2-x(1-x)+(1-x)^2=x^2-x+x^2+x^2-2x+1=3x^2-3x+1$$ que, de nuevo, tiene un mínimo global y alcanza su valor máximo en $0$ o $1$ - en realidad, exactamente en ambos.

Answer 5

Si $x\ge 0$ y $y\ge 0$ y $x+y=1$ entonces $y=1-x$ y $0 \le x \le 1$

Así que $x^3+y^3=x^3 + (1-x)^3 = 3x^2-3x+1$ . Se trata de una parábola con eje de simetría, y mínimo, en $x = \frac 12$ . De ello se deduce que los valores máximos estarán en $x=0$ y $x=1$ .