Una toda función cuya integral es limitado es idénticamente igual a cero

Question

Supongamos que $f$ tiene una serie de energía en $0$ que converge en todos $\mathbb{C}$ y $$\int_{\mathbb{C}} |f(x+iy)|dxdy$ $

Converge. Prueba $f$ sea idénticamente cero. No sé Teorema de Liouville o cualquier fórmulas integradas todavía, así que estoy un poco atrapado en este.

Se da una pista: "Utilizar coordenadas polares para mostrar $f(0)=0$"

Edit: estoy abierto a cualquier sugerencia, incluso aquellos que utilizan Liouville o Cauchy etcetera

Answer 1

Deje $f(z)=\sum_0 ^{\infty} a_n z^{n}$ ser el poder de expansión de la serie. Escribir $z=re^{i\theta}$ e integrar con respecto a $\theta$ de 0 a $2\pi$. La integración término a término es permitido, porque de la convergencia uniforme. Consigue $2\pi a_0= \int_0 ^{2\pi} f(re^{i\theta}) d\theta$. Tenga en cuenta que $a_0 =f(0)$. Multiplicar ambos lados por r e integrar w.r.t. r. de 0 a algún número de R. Usando el estándar de hecho de que $r dr d\theta =dxdy$ verá que $|(\int_0 R rdr) 2\pi f(0)|$ está delimitado por el dado integral doble. Por lo tanto $R^{2} |f(0)|$ tiene un límite independiente de R. Esto implica $f(0)=0$. Ahora aplicar el resultado a $f(z+a)$ en lugar de la f a la conclusión de que la $f(z+a)$ se desvanece en 0, lo que significa $f(a)=0$ cualquier otro.