¿Cómo obtener sumas como éstas en forma de producto de Cauchy?

Question

Sé que la pregunta no está muy bien formulada, por favor, siéntase libre de cambiarla por algo mejor.

Tengo esta suma:

$$\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{l=0}^{k} a_lx^ll!a_{k-l}x^{k-l+1}(k-l)!\frac{1}{(k+1)!}$$

Es el resultado de convolucionar un polinomio de la forma $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ con ella misma, por lo que tendríamos $\int_{0}^{x} (\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n)(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-t)^n)dt$ que se puede reescribir como $\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{l=0}^{k}a_la_{k-l}\int_{0}^{x}t^l{(x-t)}^{k-l}dt$ que se evalúa con la suma anterior.

Me gustaría encontrar una forma de ponerlo de tal manera que se pueda escribir como un producto de dos sumas, es decir $$\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{j} b_{k}c_{j-k}$$

La mayor parte se puede escribir de esta forma, donde $b_k=a_kx^kk!$ y $c_{j-k}=a_{j-k}x^{j-k+1}(j-k)!$ . Sin embargo, todavía tengo ese $\frac{1}{(j+1)!}.$ Lo que quiero saber es si hay alguna forma de manipular algebraicamente eso para que quede completamente en la forma que quiero.

Gracias.

Answer 1

No estoy seguro de haber entendido correctamente, pero esto se puede hacer de la siguiente manera.

Comienza a escribir la serie obtenida convulsionando como $$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+1)!} \sum_{\ell=0}^{k} \left( a_{\ell}\ a_{k-\ell}\ \ell!\ (k-\ell)! \right) x^{k+1}$$

Obsérvese que se trata de una serie de potencias con coeficientes $A_k = \dfrac{1}{(k+1)!} \sum_\limits{\ell=0}^{k} \left( a_{\ell}\ a_{k-\ell}\ \ell!\ (k-\ell)! \right)$ .

Queremos escribir $\sum_\limits{k=0}^{\infty} A_k\ x^{k+1} = \sum_\limits{k=0}^{\infty} \sum_\limits{\ell=0}^{k} b_l\ c_{k-l}\ x^k = \left( \sum_\limits{m=0}^{\infty} b_m\ x^m \right) \left( \sum_\limits{n=0}^{\infty} c_n\ x^n \right)$ que sigue siendo también una serie de potencias con coeficientes $P_k = \sum_\limits{\ell=0}^{k} b_l\ c_{k-l}$ .

Como una serie de potencias determina de forma única una función, se deduce que los coeficientes de ambas deben ser iguales. Es decir, $P_0 = 0$ y $P_{k+1} = A_k$ . Además, porque $P_0 = b_0 c_0$ tenemos que $b_0 = 0$ ou $c_0 = 0$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $b_0 \neq 0$ Entonces $c_0 = 0$ .

Vamos a escribir $c_n$ en función de $a_k$ y $b_m$ .

Para $k = 0$ $$A_0 = a_{0}^2 = P_1 = b_0 c_1 + b_1 c_0 = b_0 c_1 \implies c_1 = \frac{a_0^2}{b_0}$$

Para $k = 1$ $$A_1 = \frac{1}{2} \left( a_{0} a_{1} + a_{1} a_{0} \right) = a_{0} a_{1} = P_2 = b_0 c_2 + b_1 c_1 + b_2 c_0 = b_0 c_2 + b_1 c_1\\ \implies c_2 = \frac{1}{b_0} \left( a_{0} a_{1} - b_1 c_1 \right)$$

Para $k = 2$ $$A_2 = \frac{1}{3} \left( 4 a_0 a_2 + a_1^2 \right) = P_3 = b_0 c_3 + b_1 c_2 + b_2 c_1\\ \implies c_3 = \frac{1}{b_0} \left( \frac{1}{3} \left( 4 a_0 a_2 + a_1^2 \right) - b_1 c_2 - b_2 c_1 \right)$$

Y así sucesivamente... De ahí que $$c_{n+1} = \frac{1}{b_0} \left( A_n - \sum_{\ell=1}^{k-1} b_{\ell}\ c_{k-\ell} \right)$$

Esto significa que $b_n$ es una secuencia que podemos determinar libremente siempre que elijamos $c_n$ como en el caso anterior. Así, podemos elegir una secuencia que haga que su respectiva serie de potencias tenga un radio de convergencia infinito para evitar cualquier problema, digamos $b_m = \dfrac{1}{m!}$ Así que $\sum_\limits{m=0}^{\infty} b_i\ x^i = e^x$ . Hemos terminado.

Answer 2

En pocas palabras, se quiere expresar la Convolución Integral de un polinomio dado con él mismo mediante el producto de dos polinomios a determinar.

Manteniendo la generalidad, es decir, sin especificar, los coeficientes $a_k$ del polinomio autoconvertido, que significaría poder expresar $${{l!\left( {k - l} \right)!} \over {\left( {k + 1} \right)!}} = {1 \over {\left( {k + 1} \right)\left( \matrix{ k \cr l \cr} \right)}} = f(l)g(k - l)$$ lo cual no es posible, ya que el binomio no es divisible de forma tan multiplicativa.
De hecho, eso implicaría $$\eqalign{ & \left( \matrix{ k \cr l \cr} \right) = f(l)\,g(k - l)\quad \Rightarrow \quad \left( \matrix{ k \cr l \cr} \right) = \left( \matrix{ k \cr k - l \cr} \right) = f(l)\,f(k - l)\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad \left( {n + m} \right)! = F(n)\,F(m) \cr}$$ que no puede ser para cada $n$ y $m$ .

Esto significa que no está asegurado que el polinomio resultante de la convolución sea en general factorizable excepto por tener el término constante nulo y permitir así separar a $x$ .

Por ejemplo $$\int_0^x {\left( {1 + t} \right)\left( {1 + x - t} \right)dt} = {{x^{\,3} } \over 6} + x^{\,2} + x = x\left( {{{x^{\,2} } \over 6} + x + 1} \right)$$