Una función algo patológica

Question

Para fines educativos, necesito una función $f:\Bbb R\to \Bbb R$ que cumpla con las siguientes propiedades, o una prueba de que no existe:

• Continua.
• Cada $x\in\Bbb R$ $f^{-1}(\{x\})$ es infinito y acotado.

He estado pensando en el problema por un tiempo, e intuición me dice que no existe tal función, pero no estoy seguro de dónde empezar a encontrar una prueba.

Consejos para una prueba o un contraejemplo (o una referencia para él) son bienvenidos.

Answer 1

Que $h: [0,1]\to [0,1]\times [0,1]$ ser una sobreyectiva función continua tal que $h(0)=(0,0)$, $h(1)=(1,1)$. Extender esta función a un mapa $$ H: {\mathbb R} \to {\mathbb R} ^ 2 $$ que $ la $ H (t + n) = sistema + (n, n) $$ cada $n\in {\mathbb Z}, t\in {\mathbb R}$. Por último, tomar $f$ a la composición de $H$ con la proyección de coordenadas a los ejes de % de $y$.

Answer 2

En primer lugar, defina $f(x)$ $x\in [0,1]$ seguir: Tomar un continuo surjection $g:[0,1]\to [0,1]\times [0,1]$ $g(0)=(0,0)$ $g(1)=(1,1).$ Deje $p_1(x,y)=x$ $(x,y)\in [0,1]\times [0,1].$ Deje $f(x)=p_1(g(x))$ $x\in [0,1].$

Para $x\in [0,1]$ cada uno de los miembros de $g^{-1}(\{x\}\times [0,1])$ pertenece a $f^{-1}\{x\}.$ $g$ es un surjection; por lo tanto, el cardenal de $f^{-1}\{x\}$ es el cardenal de $\Bbb R.$

Para $x\in \Bbb R$ deje $[x]$ denota el mayor entero que no excede $x$ (mayores de notación para el Suelo$(x)$.)

Ahora para cualquier $x\in \Bbb R$ definir $f(x)=[x]+f(x-[x]).$

Temas de referencia para la función de $g$: llena el Espacio de la curva, la curva de Peano.

Answer 3

Esta es una de esas preguntas en teoría de la probabilidad puede darle una gran intuición sobre cómo construir explícitamente tal función.

Consideramos un movimiento browniano bilateral $(B_x)_{x\in \Bbb R}$ y que $f(x)=B_x+x$.

Aseguran que con probabilidad $1$, la función $f$ tiene las dos propiedades que desee. Es trivial continua. Por otra parte la ley fuerte de grandes números demuestra que $$\lim_{|x| \to \infty}\frac{f(x)}{x}=1,\;\;\;\;\;a.s.$$ which easily implies that $f ^ {-1} (\ {a\}) $ is bounded and nonempty for any $a \in \Bbb R.$ Furthermore, using a time-inversion property together with the strong Markov property and the fact that Brownian motion returns to $0$ unboundedly often, one can show that $f^{-1} (\ {a\}) $ is infinite (in fact, uncountable) for any $a \in \Bbb R$.