¿Si una función preserva integrabilidad, debe tener crecimiento lineal?

Question

Esta pregunta es a la inversa de las condiciones Suficientes en $F$ tal que $F(X)\in\mathcal{L}^{p}$ todos los $X\in\mathcal{L}^{p}$.

Deje $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser un Borel función con la siguiente propiedad: para cada Borel probabilidad de medida $\mu$ $\mathbb{R}$ tener finito primer momento (es decir,$\int |x|\,d\mu < \infty$), tenemos $\int |F|\,d\mu < \infty$. (En la probabilidad de idioma, este dice que siempre que $X$ es una variable aleatoria integrable en cualquier espacio de probabilidad, a continuación, $F(X)$ es integrable demasiado; deje $\mu$ ser la ley de la $X$.)

Debe $F$ tiene un crecimiento lineal? Es decir, no existe necesariamente una constante $C$ tal que $|F(x)| \le C(1+|x|)$ todos los $x \in \mathbb{R}$?

Pensé en un cerrado gráfico teorema de argumento, pero aquí el mapa de $X \mapsto F(X)$ es una asignación no lineal de $L^1$.

Answer 1

Supongamos que $F$ tiene signos diacríticos de crecimiento. A continuación, podemos encontrar una secuencia $x_n \to +\infty$ (o $x_n \to -\infty)$ tal que $|F(x_n)/x_n|\;\uparrow +\infty$.

Wlog permite asumir que $x_n \to +\infty$ y $x_n\geq 0$.

Vamos ahora a construir una probabilidad de medida $\mu$ $\Bbb R$ que $\int |F|d\mu = +\infty$ mientras $\int |x|d\mu<+\infty$. Esta medida será compatible con la $x_n$, es decir, $\mu(\{x_n\})=\rho_n$$\sum_n \rho_n=1$.

Así que tenemos que encontrar $\rho_n$ sumando a $1$ tal que $$\sum_n x_n\rho_n<+\infty.\;\;\;\;\;\;\;\; \sum_n |F(x_n)|\rho_n=+\infty.$$

Desde $|F(x_n)|/x_n$ diverge, podemos encontrar una secuencia $\alpha_n \downarrow 0$ tal que $\sum_n \alpha_n<+\infty$, pero $\sum_n \alpha_n|F(x_n)|/x_n=+\infty$. Así que ahora definen $\rho_n = c\alpha_n/x_n$ donde $c=\big(\sum_n \alpha_n/x_n\big)^{-1}.$

Por lo tanto, por contrapositivo, si $F$ satisface su condición, entonces debe haber un crecimiento lineal (en el peor).