suma de cuadrados en el anillo de enteros

Question

Lagrange demostró que cada (positivo) racional entero es una suma de 4 cuadrados.

Hay general de los resultados como este para el anillo de enteros de un campo de número? Es esta clase la teoría de campo?

Claramente, supongamos un campo de número es formalmente real. Denotar su anillo de enteros Z. Es verdadera para todo entero algebraico x en Z, x o -x es una suma de los cuadrados?

Answer 1

Para abordar las particularidades de esta cuestión por el número de campos, el básico es el teorema atribuido a Hilbert, Landau y Siegel. Primero de todo, cualquier valor distinto de cero la suma de cuadrados en un campo de número tiene que ser totalmente positiva (es decir, es positivo en todos los reales incrustaciones). Hilbert (1902) conjeturó que en cualquier campo de número, totalmente elemento positivo es la suma de 4 cuadrados en el campo número. Esto fue demostrado por Landau (1919) para cuadrática campos y por Siegel (1921) para todos los campos de número.

Esto suena superficialmente como una extensión directa de Lagrange del teorema, pero hay un inconveniente: se trata de elementos de campo, no algebraica de los números enteros como las sumas de los cuadrados de los enteros algebraicos. Totalmente positiva algebraicas entero en un campo de número de $K$ no tiene que ser una suma de 4 cuadrados de enteros algebraicos en $K$. Hilbert-Landau-teorema de Siegel sólo dice que es una suma de 4 cuadrados de los números algebraicos en $K$.

Por ejemplo, en $\mathbf{Q}(i)$ todos los elementos son totalmente positiva en un vacío de sentido (incrustaciones), por lo que cada elemento es la suma de cuatro cuadrados. Como un ejemplo, $$ i = \left(\frac{1+i}{2}\right)^2 + \left(\frac{1+i}{2}\right)^2. $$ Esta muestra $i$ es una suma de dos cuadrados en $\mathbf{Q}(i)$. Es imposible escribir $i$ como finita de la suma de los cuadrados en ${\mathbf Z}[i]$ desde $$ (a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi $$ incluso parte imaginaria al$a$$b$$\mathbf{Z}$. Por lo tanto, cualquier finito suma de los cuadrados en $\mathbf{Z}[i]$ tiene incluso parte imaginaria, de modo que tal suma no puede igualdad de $i$. Por lo tanto, es falso que todas totalmente positiva algebraicas entero en un campo de número es una suma de 4 cuadrados (o incluso cualquier número de plazas) de enteros algebraicos.

Aquí están algunos ejemplos:

1. En $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$, $5 + 3\sqrt{2}$ es totalmente positiva, ya $5+3\sqrt{2}$ $5-3\sqrt{2}$ son positivos. Por lo que debe ser una suma de más de cuatro plazas en este campo por Hilbert teorema, y con un poco de trasteo a encontrar $$ 5 + 3\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^2 + \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2. $$ Es imposible escribir $5 + 3\sqrt{2}$ como una suma de cuadrados en el anillo de enteros $\mathbf{Z}[\sqrt{2}]$ debido a la paridad de obstrucción vimos por $i$ como una suma de cuadrados en $\mathbf{Z}[i]$: el coeficiente de $\sqrt{2}$ $5 + 3\sqrt{2}$ es impar.

2. En $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$, $\sqrt{2}$ no es totalmente positiva (se convierte en negativo cuando reemplazamos $\sqrt{2}$$-\sqrt{2}$), por lo que no puede ser una suma de cuadrados en este campo. Pero en el mayor campo de $\mathbf{Q}(\sqrt{2},i)$, todo lo que es totalmente positivo en un vacío de sentido, de modo que todo es una suma de más de cuatro plazas en este campo por Hilbert-Landau-teorema de Siegel. Y mirando a $\sqrt{2}$$\mathbf{Q}(\sqrt{2},i)$, nos encontramos con $$ \sqrt{2} = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + y^2 + \left(\frac{i}{\sqrt{2}}\right)^2. $$

Hilbert hizo su conjetura en totalmente positiva de los números sumas de cuatro cuadrados como un teorema, en sus Fundamentos de la Geometría. Es el Teorema de 42. Él dice que la prueba es muy difícil, y no hay pruebas de que está incluido. Una copia de el libro (en inglés) está disponible en el momento que escribo esto como http://math.berkeley.edu/~wodzicki/160/Hilbert.pdf. Consulte la página 83 del archivo (= la página 78 del libro).

Siegel trabajo en este teorema/conjetura fue hecho justo antes de la Hasse-Minkowski teorema se estableció en todos los campos de número (por la Naturaleza), y el primero puede ser considerado como un caso especial de este último.

De hecho, para un valor distinto de cero $\alpha$ en un campo de número de $K$, considerar la forma cuadrática $$Q(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2-\alpha{x}_5^2.$$ To say $\alfa$ is a sum of four squares in $K$ is equivalent to saying $P$ has a nontrivial zero over $K$. (In one direction, if $\alpha$ is a sum of four squares over $K$ then $P$ has a nontrivial zero over $K$ where $x_5 = 1$. In the other direction, if $P$ has a nontrivial zero over $K$ where $x_5 \no= 0$ then we can scale and make $x_5 = 1$, thus exhibiting $\alpha$ as a sum of four squares in $K$. If $P$ has a nontrivial zero over $K$ where $x_5 = 0$ then the sum of four squares quadratic form represents 0 nontrivially over $K$ and thus it is universal over $K$, so it represents $\alpha$ over $K$.) By Hasse-Minkowski, $P$ represents 0 nontrivially over $K$ if and only if it represents 0 nontrivially over every completion of $K$.

Desde cualquier degenerada de una forma cuadrática en cinco o más variables a través de un local de campo o de los números complejos representa 0 trivial, $Q$ 0 representa trivial sobre $K$ si y sólo representa 0 trivial en cada finalización de $K$ que es isomorfo a ${\mathbf R}$. El real terminaciones de $K$ surgir precisamente de incrustaciones $K \rightarrow {\mathbf R}$. Para $t \in {\mathbf R}^\times$, la ecuación $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2-t{x}_5^2 =0$ tiene un trivial solución real si y sólo si $t > 0$, lo $Q$ tiene un trivial representación de 0 en cada real de finalización de $K$ si y sólo si $\alpha$ es positivo en todos los incrustación de $K$ a ${\mathbf R}$, que es lo que significa para $\alpha$ a ser totalmente positiva. (Estrictamente hablando, para ser totalmente positivo en un campo significa ser positivo en cada pedido en el campo. El orden en un campo de número de todos surgen de incrustaciones de el campo de número en $\mathbf R$, por lo que de ser totalmente positiva en un campo de número es lo mismo que ser positivo en cada una de finalización.)

Siegel papel es "Darstellung total positiver Zahlen durch Quadrate, Matemáticas. Zeit. 11 (1921), 246--275, y se puede encontrar en línea en http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/loader/img/?PPN=PPN266833020_0011&DMDID=DMDLOG_0022.

Answer 2

K. Conrad respuesta muestra que uno debe, en general, hacer una distinción entre el conocimiento de las representaciones de las sumas de cuadrados e integral de las representaciones de las sumas de cuadrados, y que esta última es mucho más sutil.

Aún así, una gran cantidad de trabajo que se ha hecho. (Yo mismo estoy familiarizado con sólo un poco de él.) El siguiente clásico de papel da resultados integrales para el imaginario cuadrática campos:

Niven, Ivan Enteros de la cuadrática campos como las sumas de cuadrados. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 48, (1940). 405--417.

http://math.uga.edu/~pete/Niven40.pdf

Niven muestra que la obstrucción señalado por Conrad es esencialmente la única a la representación de los enteros en un imaginario cuadrática de campo como las sumas de cuadrados. Más precisamente:

Deje $m$ ser un squarefree entero positivo, y poner $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-m})$, $\mathbb{Z}_K$ el anillo de enteros de $K$.

Caso 1: $m \equiv 1 \pmod 4$. En este caso, $\mathbb{Z}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{-m}]$ y hay una obstrucción que el anterior. Es decir, un elemento $a + b \sqrt{-m}$ es una suma de cuadrados en $\mathbb{Z}_K$ fib es una suma de $3$ plazas $\mathbb{Z}_K$ fib $b$ es incluso.

Caso 2: $m \equiv 3 \pmod 4$. En este caso, $\mathbb{Z}_K = \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-m}}{2}]$ y la obstrucción del caso anterior desaparece: cada elemento de $\mathbb{Z}_K$ es una suma de 3 plazas en $\mathbb{Z}_K$.

Answer 3

Para explícita resultados, ver

• Cohn, Harvey: La descomposición en cuatro integral de plazas en los campos de $2^{1/2}$ $3^{1/2}$ , Amer. J. Math. 82, 301-322 (1960) (Diferente de la prueba fue dada por J. Deutsch, Una alternativa a prueba de Cohn del teorema de los cuatro cuadrados; J. Teoría De Los Números 104, Nº 2, 263-278 (2004))

• Colliot-Thélène, Jean-Louis; Xu, Fei: Brauer-Manin obstrucción integral de los puntos de espacios homogéneos y representación integral de la formas cuadráticas Compos. De matemáticas. 145, Nº 2, 309-363 (2009) (Esta es mucho más profunda y se conecta la representatividad con la Brauer-Manin obstrucción; sólo he visto el de revisión.)