Problema de trigonometría, Evaluar: $ \frac {1}{ \sin 18°}$

Question

Mi problema es,

Evaluar: $$ \frac {1}{ \sin 18°}$$

Traté de hacer algo por mí mismo.

Es obvio,

$$ \cos 18°= \sin 72°$$

Acepto $ \left\ {18°=x \right\ }$ por conveniencia y aquí, $ \sin (x)>0$ $$ \cos (x)= \sin (4x)$$ $$ \cos (x)=2× \sin (2x) \cos (2x)$$ $$ \cos (x)=2× 2 \sin (x) \cos (x)×(1-2 \sin ^2(x)), \cos (x)>0$$ $$8 \sin ^3(x)-4 \sin (x)+1=0$$ $$(2 \sin (x)-1)(4 \sin ^2(x)+2 \sin (x)-1)=0$$ $$4 \sin ^2(x)+2 \sin (x)-1=0, \sin (x)≠ \frac 12$$ $$4t^2+2t-1=0$$ $$t_{1,2}= \frac {-1± \sqrt 5}{4}$$ $$t= \frac { \sqrt5 -1}{4} ,t>0$$ $$ \sin 18°= \frac { \sqrt5 -1}{4} .$$ Finalmente, $$ \frac {1}{ \sin 18°}= \frac {4}{ \sqrt5 -1}= \sqrt5 +1$$

¿Es esta la forma correcta y hay una forma mejor/elegante de hacerlo? Como siempre, fue una solución fea.

¡Gracias!

Answer 1

No es una solución fea en absoluto, pero se puede hacer mejor. He aquí una solución analítica basada en números complejos.

Sea $\alpha=72^\circ=2\pi/5$ por lo que podemos considerar $z=e^{\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha$ que satisfaga $z^5-1=0$ . Desde $z\ne1$ podemos deducir $$ z^4+z^3+z^2+z+1=0 $$ y también, dividiendo por $z^2$ , $$ z^2+\frac{1}{z^2}+z+\frac{1}{z}+1=0 $$ Por otro lado, $z^2+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2-2$ y podemos observar que $$ z+\frac{1}{z}=2\cos\alpha $$ Por lo tanto, vemos que $2\cos\alpha$ cumple la ecuación $t^2+t-1=0$ . Como es positivo, concluimos $$ 2\cos\alpha=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} $$ y por lo tanto $$ \cos\alpha=\frac{\sqrt{5}-1}{4} $$ Así $$ \frac{1}{\sin18^\circ}=\frac{1}{\cos72^\circ}=\frac{4}{\sqrt{5}-1}=\sqrt{5}+1 $$

Answer 2

En el pentágono regular de abajo tenemos $\displaystyle{1\over\sin 18°}={2BD\over AB}$ . Por otra parte: $$ {BD\over AB}={AE\over EF}={AE\over EC-FC}={AB\over BD-AB}. $$ De ello se deduce que: $$ {BD\over AB}=\hbox{golden ratio}={1+\sqrt5\over2}. $$

Answer 3

Toma $\Delta ABC$ con $AB=AC=1$ y $BC=x,$ y con $\angle ABC=\angle ACB=2\pi/5.$ Entonces $\angle BAC=\pi/5$ y $x=2AB\sin \frac {1}{2}\angle BAC=2\sin \pi/10.$

Toma $D$ en el lateral $AC$ con $\angle DBC=\pi/5.$ Entonces $ABC$ y $BDC$ son triángulos semejantes por lo que $CD/x= CD / CB= CB/CA=x/1$ . Así que $CD=x^2.$

Y $\Delta BDA$ es isósceles porque $\angle DCA=\angle DAC=\pi/5 .$ Así que $DA=DB=CB=x.$

$$\boxed{ \therefore 1=AC=AD+DC=x+x^2=2\sin \frac{\pi}{10} +4\sin^2\frac{\pi}{10} \ }$$

Answer 4

Hay un par de enfoques bien conocidos. El primero es paralelo a la respuesta de @egreg y se remonta a Gauss. Para un primo $p$ encontrar una raíz primitiva $g$ y luego para y divisor $d$ de $p-1$ y enteros $0\le j<d$ deje $$\sigma_{dj}=\sum_{k=0}^{\frac{p-1}d-1}\omega^{g^{j+kd}}$$ Dónde $\omega=e^{2\pi i/p}$ . En nuestro caso $p=5$ y $g=2$ es una raíz primitiva. Ahora, $\sigma_{10}=-1$ porque la suma de las raíces de $z^p-1=0$ es $\sigma_{10}+1=0$ porque es menos el coeficiente de $z^{p-1}$ . Entonces $\sigma_{20}+\sigma_{21}=\sigma_{10}=-1$ y podemos calcular el producto $\sigma_{20}\sigma_{21}$ construyendo una tabla en la que cada entrada es el producto de sus cabeceras de fila y columna: $$\begin{array}{c|cc} &\omega^1&\omega^4\\ \hline\omega^2&\omega^3&\omega^1\\ \omega^3&\omega^4&\omega^2\end{array}$$ Y el producto es la suma de las entradas de la tabla, $\sigma_{20}\sigma_{21}=\sigma_{10}=-1$ . Puesto que conocemos la suma y el producto de $\sigma_{20}$ y $\sigma_{21}$ podemos construir una ecuación que satisfagan, $\sigma_{20}^2+\sigma_{20}-1=0$ con solución $$2\cos\frac{2\pi}5=\omega+\omega^4=\sigma_{20}=\frac{-1\pm\sqrt5}2=\frac{-1+\sqrt5}2$$ porque es un ángulo del primer cuadrante. Así que $$\csc\frac{\pi}{10}=\frac1{\sin\frac{\pi}{10}}=\frac1{\cos\frac{2\pi}5}=\frac4{\sqrt5-1}=\sqrt5+1$$ Puede parecer mucha maquinaria para obtener esta sencilla respuesta, pero este enfoque es capaz de llegar a $\cos\frac{2\pi}{17}$ porque al igual que en el caso anterior podemos encontrar una ecuación que $\sigma_{20}$ y $\sigma_{21}$ satisfacen, entonces las ecuaciones para $\sigma_{40}$ y $\sigma_{42}$ y para $\sigma_{41}$ y $\sigma_{43}$ y finalmente para $\sigma_{80}=2\cos\frac{2\pi}{17}$ y $\sigma_{84}$ y esa es una construcción que no suelen enseñarte en clase de geometría euclidiana.

El otro enfoque es similar al propuesto en la pregunta original, pero quizá sea un poco más sistemático. Partimos de la identidad $$\cos(n+1)\theta=\cos n\theta\cos\theta-\sin n\theta\sin\theta=2\cos n\theta\cos\theta-\cos(n-1)\theta$$ A partir de $\cos(0\theta)=1$ , $\cos(1\theta)=\cos\theta$ avanzamos a $$\begin{align}\cos2\theta&=2\cos^2\theta-1\\ \cos3\theta&=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ \cos4\theta&=8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1\\ \cos5\theta&=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta\end{align}$$ Dado que nuestro objetivo es $\theta=\frac{2\pi}5$ y sabemos que $\cos5\theta=1$ y $\cos0=1$ es una raíz y también que hay dos raíces dobles porque $\cos\theta=\cos4\theta$ y $\cos2\theta=\cos3\theta$ podemos factorizar $$16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta-1=\left(\cos\theta-1\right)\left(4\cos^2\theta+2\cos\theta-1\right)^2=0$$ Así obtenemos $$\cos\theta=\cos\frac{2\pi}5=\sin\frac{\pi}{10}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}8=\frac{-1+\sqrt5}4$$ Porque es un ángulo del primer cuadrante, como antes.

Answer 5

Tenga en cuenta que $\forall x\in \mathbb{R}$

$$\sin x= \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots. $$

que converge "muy rápido para x pequeño".

En este caso $x=\frac{\pi}{10}$ así que tenemos que

$$ \sin \left(\frac{\pi}{10}\right) \approx \frac{\pi}{10} - \frac{\pi^3}{6000} + \frac{\pi^5}{10^5\cdot 5!}\approx 0.30901705...$$

mientras que el valor exacto es

$$\sin \left( \frac{\pi}{10} \right)=0.30901699...$$