Si $dx$ es sólo sintaxis y no un infinitesimal, entonces ¿por qué le aplicamos operaciones?

Question

Así que aparentemente mi comprensión de este concepto es vieja, anticuada, o no estándar, etc, pero yo estaba bajo la suposición de que en una integral, $dx$ representaba el "cambio infinitesimal en $x$ ", análogo a $\Delta x$ la "anchura" de un rectángulo de aproximación bajo la curva, donde $f(x)$ es la altura de ese rectángulo.

Pero ahora he oído que sólo es una sintaxis que te permite conocer la variable que estás integrando. Pero si esto es cierto entonces por qué, durante cosas como $u$ -sustitución, ¿seguimos manipulando $dx$ como si se tratara de una cantidad real y sólo estuviéramos cambiando las unidades? Es como si hiciéramos un análisis dimensional, por ejemplo.

Entonces, ¿qué es exactamente $dx$ si no es algo real pero sigue siendo algo que aparentemente manipulamos en ciertas situaciones como $u$ -¿sustitución? Y además si $dx$ es sólo sintaxis cuando ¿qué está haciendo exactamente la integral si no es tomando implícitamente la suma de infinitos "rectángulos" con una anchura infinitamente pequeña?

Answer 1

Veamos $dx$ para ser realmente sólo sintaxis.

Ahora digamos que tenemos $\int_{u(a)}^{u(b)} f(x)dx$ Ahora estoy definiendo $F(u(t))\implies (F(u(t)))'=f(u(t))u'(t)$ por el teorema fundamental del cálculo tenemos $$\int_a^b f(u(t))u'(t)dt=\int_a^b (F(u(t)))'dt=F(u(b))-F(u(a))=\int_{u(a)}^{u(b)}F'(x)dx=\int_{u(a)}^{u(b)}f(x)dx$$

Esta es una forma de ver que incluso cuando miramos $dx$ como sintaxis podemos hacerlo, más aún puede ser incluso una justificación para poder mirarlo como lo hizo Leibniz.

De forma más lógica podemos verlo de la siguiente manera:

Cuando cambiamos las variables cambiamos $f(x)$ para ser $g(u(x))$ Ahora tenemos que cambiar $dx$ a $d(u(x))$ y decir realmente $f(x)dx=g(u(x))d(u(x))$ ¡es correcto! E incluso se utiliza en física y en algún área en matemáticas. Pero también sabemos que $d(u(x))=u'(x)dx$ hance podemos cambiarlo en $g(u(x))u'(x)dx$

---

También, $dx$ puede ser visto como algo que no es sintaxis, mira: https://math.stackexchange.com/a/21209/471959 y ¿Qué es? $dx$ en la integración?

Y estoy seguro de que hay más preguntas que discuten esto en internet

Answer 2

Si uno trabaja en un marco desprovisto de infinitesimales, naturalmente se vería abocado a negar que $dx$ en la fórmula de una integral no es un infinitesimal, ya que no existe tal entidad para empezar. Sin embargo, cuando se trabaja con un continuo enriquecido con infinitesimales se interpreta naturalmente el símbolo $dx$ en la fórmula de una integral como infinitesimal, como se hace por ejemplo en el libro de texto de Keisler Cálculo elemental .

La fórmula de cambio de variable (también conocida como "sustitución en u") es una consecuencia de la regla de la cadena para las derivadas, que admite una interpretación más natural en un marco enriquecido con infinitesimales.

Usted pregunta: "Y además si $dx$ es sólo sintaxis cuando ¿qué está haciendo exactamente la integral si no es tomando implícitamente la suma de infinitos 'rectángulos' con una anchura infinitamente pequeña?" De hecho, en el libro de texto de Keisler ese es precisamente el punto de vista adoptado. Basta con declarar $dx$ para ser "sólo sintaxis" en un marco donde los infinitesimales no están disponibles.