Veamos primero un tipo muy especial de tensor, a saber, el tensor $(0,1)$ tensor. ¿Qué es? Pues es el producto tensorial de $0$ copias de los miembros de $V$ y una copia de los miembros de $V^*$ . Es decir, es miembro de $V^*$ .
Pero, ¿qué es un miembro de $V^*$ ? Bueno, por la propia definición de $V^*$ es una función lineal $\phi:V\to K$ . Escribamos esto explícitamente: $$T^0_1V = V^* = \{\phi:V\to K\mid\phi \text{ is linear}\}$$ Verás, ya en este punto, donde ni siquiera usamos un producto tensorial, obtenemos un $V^*$ por un lado, y un $V$ en el otro, simplemente insertando la definición de $V^*$ .
A partir de esto, es obvio por qué $(0,q)$ -tensores tienen $q$ copias de $V^*$ en el producto tensorial $(2)$ pero $q$ copias de $V$ en el dominio de la función multilineal en $(3)$ .
Vale, pero ¿por qué tienes un $V^*$ en el mapa en $(3)$ para cada factor $V$ en el producto tensorial? Al fin y al cabo, los vectores no son funciones, ¿verdad?
Bueno, en cierto sentido lo son: Hay un mapa lineal natural desde $V$ a su doble dual $V^{**}$ es decir, el conjunto de funciones lineales de $V^*$ a $K$ . De hecho, para espacios vectoriales de dimensión finita, se tiene incluso que $V^{**} \cong V$ . Este mapa natural viene definido por la condición de que aplicando la imagen de $v$ a $\phi\in V^*$ da el mismo valor que aplicando $\phi$ a $v$ . Sospecho que la conferencia supone espacios vectoriales de dimensión finita. En ese caso, puede identificar $V$ con $V^{**}$ y por lo tanto se obtiene $$T^1_0V = V = V^{**} = \{T:V^*\to K\mid T \text{ is linear}\}$$ Aquí la segunda igualdad es exactamente esa identificación.
Ahora debería ser obvio por qué $p$ copias de $V$ en el producto tensorial $(2)$ dé $p$ factores de $V^*$ para el dominio de las funciones multilineales en $(3)$ .
Edita: A petición en los comentarios, algo sobre las relaciones de esos términos con el producto de Kronecker.
El producto tensorial $\color{darkorange}{\otimes}$ en $(2)$ es un producto tensorial no de (co)vectores, sino de (co)vectores espacios . El resultado de ese producto tensorial no describe un tensor, sino el conjunto de todos los tensores de un tipo determinado. Los tensores son entonces elementos del conjunto correspondiente. Y dada una base de $V$ los tensores se pueden especificar dando sus coeficientes en esa base.
Esto es completamente análogo al propio espacio vectorial. Tenemos el espacio vectorial, $V$ este espacio vectorial contiene vectores $v\in V$ y dada una base $\{e_i\}$ de $V$ podemos escribir el vector en componentes, $v = \sum_i v^i e_i$ .
Del mismo modo para $V^*$ podemos escribir cada miembro $\phi\in V^*$ en la base dual $\omega^i$ (definido por $\omega^i(e_j)=\delta^i_j$ ) como $\sum_i \phi_i \omega^i$ . Una forma alternativa de obtener los componentes $\phi_i$ es observar que $\phi(e_k) = \sum_i \phi_i \omega^i(e_k) = \sum_i \phi_i \delta^i_k = \phi_k$ . Es decir, los componentes del covector son sólo los valores de la función en los vectores base.
De esta forma también se ve inmediatamente que $\phi(v) = \sum_i \phi(v^i e_i) = \sum_i v^i\phi(e_i) = \sum_i v^i \phi_i$ que es algo así como como un producto interno, pero no exactamente, porque se comporta de forma diferente al cambiar de base.
Veamos ahora un $(0,2)$ tensor, es decir, una función bilineal $f:V\times V\to K$ . Tenga en cuenta que $f\in V^*\color{darkorange}{\otimes} V^*$ como $V^*\color{darkorange}{\otimes} V^*$ es por definición el conjunto de todas las funciones de este tipo (véase la ec. $(3)$ ). Ahora, al ser una función bilineal, de nuevo sólo es necesario conocer los valores en los vectores base, ya que $$f(v,w) = f(\sum_i v^i e_i, \sum_j w^j e_j) = \sum_{i,j}v^i w^j f(e_i,e_j)$$ y por lo tanto podemos definir como componentes $f_{ij} = f(e_i,e_j)$ y obtener $f(v,w)=\sum_{i,j}f_{ij}v^i w^j$ .
Esto también se aplica a los tensores generales: Un único tensor $T\in T^p_qV$ es una función multilineal $T:(V^*)^p\times V^q\to K$ y está completamente determinada por los valores que se obtienen al insertar vectores base y covectores base por todas partes, dando las componentes $$T^{i\ldots j}_{k\ldots l}=T(\underbrace{\omega^i,\ldots,\omega^j}_{p},\underbrace{e_k,\ldots,e_l}_{q})$$
Bien, ahora tenemos componentes, pero aún no hemos definido el producto tensorial de tensores. Pero en realidad es bastante fácil:
Sea $x\in T^p_qV$ y $y\in T^r_sV$ . Es decir, $x$ es una función que toma $p$ covectores y $q$ vectores, y da un escalar, mientras que $y$ toma $r$ covectores y $s$ vectores a un escalar. Entonces el producto tensorial $x\color{blue}{\otimes} y$ es una función que toma $p+r$ covectores y $q+s$ vectores, alimenta el primer $p$ covectores y el primer $q$ vectores a $x$ y el resto $r$ covectores y $s$ vectores a $y$ y multiplica el resultado. Es decir, $$(x\color{blue}{\otimes} y)(\underbrace{\kappa,\ldots,\lambda,\mu,\ldots,\nu}_{p+r},\underbrace{u,\ldots,v,w,\ldots,x}_{q+s}) = x(\underbrace{\kappa,\ldots,\lambda}_p,\underbrace{u,\ldots,v}_q)\cdot y(\underbrace{\mu,\ldots,\nu}_{r},\underbrace{w,\ldots,x}_{s})$$ No es difícil comprobar que, efectivamente, esta función también es multilineal, y por tanto $x\color{blue}{\otimes} y\in T^{p+r}_{q+s}V$ .
Y ahora, por fin, llegamos a la pregunta de cuáles son los componentes de $x\color{blue}{\otimes} y$ son. Pues bien, los componentes de $x\color{blue}{\otimes} y$ son sólo los valores de la función al insertar vectores base y covectores base, y cuando haces eso y usas la definición del producto tensorial, encuentras que efectivamente, los componentes del producto tensorial son el producto de Kronecker de los componentes de los factores.
Además, se puede demostrar que $T^p_q V$ es un espacio vectorial por derecho propio, y por lo tanto el $(p,q)$ -pueden escribirse como la combinación lineal de una base que es $1$ exactamente para una combinación de vectores base y covectores base y $0$ para todas las demás combinaciones. Sin embargo, se puede ver fácilmente que esto es sólo el producto tensorial de los covectores/vectores duales correspondientes. Como, además, en esa base, los coeficientes de los vectores de la base no son más que los componentes del tensor tal como se ha introducido antes, llegamos finalmente a la fórmula $$T = \sum T^{i\ldots j}_{k\ldots l}\underbrace{e_i\color{blue}{\otimes}\dots\color{blue}{\otimes} e_j}_{p}\color{blue}{\otimes}\underbrace{\omega^k\color{blue}{\otimes}\dots,\color{blue}{\otimes}\;\omega^l}_{q}$$
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@Peter Franek A medida que mi comprensión mejora, gracias a buenas respuestas como la tuya, espero que las ediciones del PO hagan más precisa la pregunta. ¿Es menos confuso ahora?
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@Peter Franek Gracias por señalarlo. Creo que ahora debería estar bien.
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@PeterFranek Ya está corregido. Gracias.